\qquad 参数估计是统计推断的基本问题之一. 在很多实际问题中，我们知道总体的分布，但不知道分布的参数. 因此需要对未知的参数作出估计，这就是参数估计问题. 这里主要有两类估计: 一类是点估计，另一类是区间估计.
仅供参考
设总体X的密度函数为 f ( x ) = { θ C θ x − ( θ + 1 ) , x > C 0 , x ⩽ C f(x) = \begin{cases} θC^θx^{-(θ+1)}, & \text{x > C} \\ 0, & \text x \leqslant C \end{cases} f(x)={θCθx−(θ+1),0,x > Cx⩽C C > 0 C>0 C>0 为已知， θ > 1 θ>1 θ>1. X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn为简单随机样本. (1)求θ的矩估计量; (2)求θ的极大似然估计量.
矩估计： 用样本的矩, 代替总体的矩。 通常考试中只用到一阶和二阶。 一 阶 X ˉ = 1 n ∑ X i → 一 阶 E X 一阶 \bar X = \frac 1n \sum X_i \xrightarrow{} 一阶 EX 一阶Xˉ=n1∑Xi 一阶EX 二 阶 A 2 = 1 n ∑ X i 2 → 二 阶 E X 2 二阶 A_2 = \frac 1n \sum X_i^2 \xrightarrow{} 二阶 EX^2 二阶A2=n1∑Xi2 二阶EX2
极大似然估计 完完全全的步骤法： (1) . 写出总体的概率函数（离散型）或者密度函数（连续性） (2) . 写出似然函数 L ( θ ) L(θ) L(θ) （ θ θ θ为待估计参数） (3) . 两边同时取对数 ln \ln ln (4) . 对 θ θ θ求导，令导数等于 0 0 0，解出 θ θ θ，即为 θ ^ \hatθ θ^.（注：若第(4)步无解，回归原始定义，找到 θ ^ \hatθ θ^使 L ( x , L(x, L(x, θ ^ \hatθ θ^ ) ) )最大.）
解：(1).
E X = ∫ c ∞ x θ C θ x − ( θ + 1 ) d x = θ C θ ∫ c ∞ x − θ d x = θ C θ − 1 = μ EX = \int_c^\infty xθC^θx^{-(θ+1)}\, dx = θC^θ\int_c^\infty x^{-θ} dx = \frac {θC}{θ-1} = μ EX=∫c∞xθCθx−(θ+1)dx=θCθ∫c∞x−θdx=θ−1θC=μ 即 ： μ = X ˉ = θ C θ − 1 , 得 ： θ ^ = X ˉ X ˉ − C 即： μ = \bar X = \frac {θC}{θ-1}, 得：\hat θ = \frac {\bar X}{\bar X-C} 即：μ=Xˉ=θ−1θC,得：θ^=Xˉ−CXˉ
(2). 似 然 函 数 ： L ( θ ) = ∏ i = 1 n θ C θ x i − ( θ + 1 ) = θ n C n θ ∏ i = 1 n x i − ( θ + 1 ) 似然函数： L(θ) = \prod_{i=1}^n θC^θx_i^{-(θ+1)} = θ^nC^{nθ} \prod_{i=1}^n x_i^{-(θ+1)} 似然函数：L(θ)=i=1∏nθCθxi−(θ+1)=θnCnθi=1∏nxi−(θ+1) 取 对 数 ： ln L ( θ ) = n ln θ + n θ ln C − ( θ + 1 ) ∑ i = 1 n ln x i 取对数： \ln L(θ) = n\lnθ + nθ\ln C - (θ+1)\sum_{i=1}^n \ln x_i 取对数：lnL(θ)=nlnθ+nθlnC−(θ+1)i=1∑nlnxi 令 导 数 为 0 ： d ln ( θ ) d θ = n θ + n ln C − ∑ i = 1 n ln x i = 0 令导数为0：\frac {d\ln (θ)}{dθ} = \frac nθ + n\ln C - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0 令导数为0：dθdln(θ)=θn+nlnC−i=1∑nlnxi=0 解 得 ： θ ^ = n ∑ i = 1 n ln x i − n ln C 解得： \hat θ = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n\ln C} 解得：θ^=∑i=1nlnxi−nlnCn
设总体X的密度函数为 f ( x ) = { λ α x α − 1 e − λ x α , x > 0 0 , x ⩽ 0 f(x) = \begin{cases} \lambda αx^{α-1}e^{-\lambda x^α}, & \text{x > 0} \\ 0, & \text x \leqslant 0 \end{cases} f(x)={λαxα−1e−λxα,0,x > 0x⩽0 其中 α > 0 α>0 α>0是已知常数， λ > 0 \lambda > 0 λ>0是未知参数， X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn为简单随机样本，求 λ \lambda λ的极大似然估计量.
解： 似 然 函 数 ： L ( λ ) = ∏ i = 1 n λ α x i α − 1 e − λ x i α = λ n α n ∏ i = 1 n x i α − 1 e − λ ∑ i = 1 n x i α 似然函数：L(λ) = \prod_{i=1}^n λαx_i^{α-1}e^{-\lambda x_i^α} = λ^n\alpha^n \prod_{i=1}^n x_i^{α-1}e^{-\lambda \sum _{i=1}^n x_i^α} 似然函数：L(λ)=i=1∏nλαxiα−1e−λxiα=λnαni=1∏nxiα−1e−λ∑i=1nxiα 取 对 数 ： ln L ( λ ) = n ln λ + n ln α + ln ∏ i = 1 n x i α − 1 − λ ∑ i = 1 n x i α 取对数： \ln L(λ) = n\lnλ + n\ln α +\ln \prod _{i=1}^n x_i^{α-1} - λ\sum_{i=1}^n x_i^\alpha 取对数：lnL(λ)=nlnλ+nlnα+lni=1∏nxiα−1−λi=1∑nxiα 令 导 数 为 0 ： d ln ( λ ) d λ = n λ − ∑ i = 1 n x i α = 0 令导数为0：\frac {d\ln (λ)}{dλ} = \frac nλ -\sum_{i=1}^n x_i^\alpha = 0 令导数为0：dλdln(λ)=λn−i=1∑nxiα=0 解 得 ： λ ^ = n ∑ i = 1 n x i α 解得： \hat λ = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i^\alpha} 解得：λ^=∑i=1nxiαn
设某种清漆的9个样品，其干燥时间(单位:h)分别为 6.0 ， 5.7 ， 5.8 ， 6.5 ， 7.0 ， 6.3 ， 5.6 ， 6.1 ， 5.0 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0. 设干燥时间总体 T T T~ N ( μ , σ ) N(μ,\sigma) N(μ,σ)，就下面两种情况求 μ μ μ的置信度为0. 95的双侧置信区间. (1) σ \sigma σ = 0.6(h); (2) σ σ σ 未知.
区间估计： 也是固定套路，分别求出所需要的各种参数，然后代入公式
估计正态总体的数学期望 μ \mu μ公式方差 σ 2 \sigma^2 σ2已知 ( X ˉ − z α 2 σ / n , X ˉ + z α 2 σ / n ) \left(\bar X - z_\frac \alpha2 {\sigma}/{\sqrt n},\bar X+z_\frac \alpha2 {\sigma}/{\sqrt n}\right) (Xˉ−z2ασ/n ,Xˉ+z2ασ/n )方差 σ 2 \sigma^2 σ2未知 ( X ˉ − t α 2 ( n − 1 ) S / n , X ˉ + t α 2 ( n − 1 ) S / n ) \left(\bar X-t_\frac \alpha2(n-1) S/{\sqrt n},\bar X+t_\frac \alpha2(n-1) S/{\sqrt n}\right) (Xˉ−t2α(n−1)S/n ,Xˉ+t2α(n−1)S/n ) 估计正态总体的方差 σ 2 \sigma^2 σ2公式数学期望 μ \mu μ 已知 ( ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 / χ α 2 2 ( n ) , ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 / χ 1 − α 2 2 ( n ) ) \left(\sqrt {{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2} / {\chi_{\frac \alpha2}^2(n)}},\sqrt {{\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2} / {\chi_{1 -\frac \alpha2}^2(n)}}\right) (∑i=1n(Xi−μ)2/χ2α2(n) ,∑i=1n(Xi−μ)2/χ1−2α2(n) )数学期望 μ \mu μ 未知 ( ( n − 1 ) / χ α 2 2 ( n − 1 ) S , ( n − 1 ) / χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) S ) \left(\sqrt {(n-1)/ {\chi_{\frac \alpha2}^2(n-1)}} S ,\sqrt {(n-1)/ {\chi_{1-\frac \alpha2}^2(n-1)}} S \right) ((n−1)/χ2α2(n−1) S,(n−1)/χ1−2α2(n−1) S) 估计两个正态总体的期望差 μ 1 − μ 2 \mu_1 -\mu_2 μ1−μ2公式 σ 1 2 , σ 2 2 \sigma^2_1,\sigma^2_2 σ12,σ22均已知 ( X ˉ − Y ˉ − z α 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 , X ˉ − Y ˉ + z α 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ) \left(\bar X- \bar Y - z_\frac \alpha2 \sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} ,\bar X- \bar Y +z_\frac \alpha2 \sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right) (Xˉ−Yˉ−z2αn1σ12+n2σ22 ,Xˉ−Yˉ+z2αn1σ12+n2σ22 ) σ 1 2 , σ 2 2 \sigma^2_1,\sigma^2_2 σ12,σ22均未知 ,但 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 \sigma^2_1=\sigma^2_2=\sigma^2 σ12=σ22=σ2 ( X ˉ − Y ˉ − t α 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 , X ˉ − Y ˉ + t α 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 ) \left(\bar X- \bar Y - t_\frac \alpha2 (n_1+n_2-2) S_w\sqrt {\frac1{n_1} + \frac1{n_2}} ,\bar X- \bar Y + t_\frac \alpha2 (n_1+n_2-2) S_w\sqrt {\frac1{n_1} + \frac1{n_2}}\right) (Xˉ−Yˉ−t2α(n1+n2−2)Swn11+n21 ,Xˉ−Yˉ+t2α(n1+n2−2)Swn11+n21 ) σ 1 2 , σ 2 2 \sigma^2_1,\sigma^2_2 σ12,σ22均未知 ,但 n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2很大 ( X ˉ − Y ˉ − z α 2 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 , X ˉ − Y ˉ + z α 2 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 ) \left(\bar X- \bar Y - z_\frac \alpha2 \sqrt {\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}} ,\bar X- \bar Y +z_\frac \alpha2 \sqrt {\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}\right) (Xˉ−Yˉ−z2αn1S12+n2S22 ,Xˉ−Yˉ+z2αn1S12+n2S22 )注： S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 S_w^2 = \frac {(n_1-1)S_1^2 +(n_2-1)S_2^2 }{n_1+n_2-2} Sw2=n1+n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22
估计两个正态总体的方差比 σ 1 2 / σ 2 2 \sigma_1^2 / \sigma_2^2 σ12/σ22公式数学期望 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1,μ2 均未知 ( S 1 2 / S 2 2 F α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , S 1 2 S 2 2 F α 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ) \left (\frac {S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\frac {S_1^2} {S_2^2}F_\frac\alpha2 (n_1-1,n_2-1)\right) (Fα/2(n1−1,n2−1)S12/S22,S22S12F2α(n1−1,n2−1))数学期望 μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ1,μ2 均已知解：(1). ∵ 1 − α = 0.95 ∴ α 2 = 0.025 n = 9 , σ = 0.6 δ = σ n z 0.025 = 0.6 9 × 1.96 = 0.392 X ˉ = 1 9 × ( 6.0 + 5.7 + 5.8 + 6.5 + 7.0 + 6.3 + 5.6 + 6.1 + 5.0 ) = 6.0 μ 的 置 信 度 为 0.95 的 双 侧 置 信 区 间 为 ： ( X ˉ − δ , X ˉ + δ ) = ( 5.608 , 6.392 ) \because 1-\alpha = 0.95 \qquad \therefore \frac \alpha2 = 0.025 \qquad n=9,\sigma=0.6\\ \delta =\frac{\sigma}{\sqrt n}z_{0.025} =\frac{0.6}{\sqrt 9}\times1.96=0.392\\ \bar X = \frac 19\times(6.0+5.7+5.8+6.5+7.0+6.3+5.6+6.1+5.0)=6.0\\ μ的置信度为 0. 95 的双侧置信区间为：(\bar X-\delta,\bar X+\delta)=(5.608,6.392) ∵1−α=0.95∴2α=0.025n=9,σ=0.6δ=n σz0.025=9 0.6×1.96=0.392Xˉ=91×(6.0+5.7+5.8+6.5+7.0+6.3+5.6+6.1+5.0)=6.0μ的置信度为0.95的双侧置信区间为：(Xˉ−δ,Xˉ+δ)=(5.608,6.392) (2). ∵ σ 未 知 ∴ σ 的 1 − α 置 信 区 间 为 ： ( X ˉ − t α 2 ( n − 1 ) S n , X ˉ + t α 2 ( n − 1 ) S n ) 对 抽 样 的 样 本 值 有 ( x ˉ − t α 2 ( n − 1 ) s n , x ˉ + t α 2 ( n − 1 ) s n ) s = s 2 = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 = 0.5745 查 表 t 0.025 = 2.306 ∴ 代 入 得 ： μ 的 置 信 度 为 0.95 的 双 侧 置 信 区 间 ( 5.558 , 6.418 ) \because\sigma未知 \qquad \therefore \sigma的1-\alpha置信区间为：\left(\bar X-t_\frac \alpha2(n-1) \frac S{\sqrt n},\bar X+t_\frac \alpha2(n-1) \frac S{\sqrt n}\right) \\ 对抽样的样本值有\left(\bar x-t_\frac \alpha2(n-1) \frac s{\sqrt n},\bar x+t_\frac \alpha2(n-1) \frac s{\sqrt n}\right)\\ s=\sqrt {s^2} = \sqrt {\frac {\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{n-1}} = 0.5745\\ 查表\qquad t_{0.025}=2.306\\ \therefore代入得：μ的置信度为 0. 95 的双侧置信区间(5.558,6.418) ∵σ未知∴σ的1−α置信区间为：(Xˉ−t2α(n−1)n S,Xˉ+t2α(n−1)n S)对抽样的样本值有(xˉ−t2α(n−1)n s,xˉ+t2α(n−1)n s)s=s2 =n−1∑i=1n(xi−xˉ)2 =0.5745查表t0.025=2.306∴代入得：μ的置信度为0.95的双侧置信区间(5.558,6.418)
就8.6题中的两种情况求 μ μ μ 的置信度为 0. 95 的单侧置信上限。
单侧置信区间： 欲 求 置 信 度 为 1 − α 的 单 侧 置 信 区 间 ( θ ‾ , + ∞ ) 或 ( − ∞ , θ ‾ ) 可 以 先 求 置 信 度 为 1 − 2 α 的 双 侧 置 信 区 间 ( θ ‾ , θ ‾ ) 由 ( θ ‾ , θ ‾ ) 自 然 就 得 出 两 个 单 侧 置 信 区 间 ( − ∞ , θ ‾ ) 和 ( θ ‾ , + ∞ ) 根 据 需 要 取 其 一 ， 就 是 置 信 度 为 1 − α 的 单 侧 置 信 区 间 . 欲求置信度为 1 - α 的单侧置信区间(\underline{\theta}, +∞)或(-∞,\overline{\theta})\\可以先求置信度为1-2α的双侧置信区间(\underline{\theta},\overline{\theta})\\由(\underline{\theta},\overline{\theta})自然就得出两个单侧置信区间(-∞,\overline{\theta})和(\underline{\theta}, +∞)\\根据需要取其一，就是置信度为1-α的单侧置信区间. 欲求置信度为1−α的单侧置信区间(θ,+∞)或(−∞,θ)可以先求置信度为1−2α的双侧置信区间(θ,θ)由(θ,θ)自然就得出两个单侧置信区间(−∞,θ)和(θ,+∞)根据需要取其一，就是置信度为1−α的单侧置信区间.
解： 1 − α = 0.95 α = 0.05 1 − 2 α = 0.90 n = 9 σ = 0.6 x ˉ = 6.0 s = 0.5745 查 表 : z 0.05 = 1.645 t 0.05 = 1.8595 1-\alpha = 0.95 \qquad \alpha= 0.05 \qquad 1-2\alpha = 0.90 \\ n=9\qquad\sigma=0.6 \qquad \bar x=6.0 \qquad s=0.5745\\ 查表:\qquad z_{0.05}=1.645\qquad t_{0.05}=1.8595 1−α=0.95α=0.051−2α=0.90n=9σ=0.6xˉ=6.0s=0.5745查表:z0.05=1.645t0.05=1.8595 (1) σ = 0.6 \sigma = 0.6 σ=0.6,
μ ‾ = x ˉ + z 0.05 σ n = 6.0 + 1.645 × 0.2 = 6.329 \overline \mu=\bar x + z_{0.05}\frac {\sigma}{\sqrt n} = 6.0+1.645\times0.2=6.329 μ=xˉ+z0.05n σ=6.0+1.645×0.2=6.329
(2) σ σ σ 未知,
μ ‾ = x ˉ + t 0.05 ( 8 ) s n = 6.0 + 1.8595 × 0.5745 9 = 6.356 \overline \mu=\bar x+t_{0.05}(8) \frac s{\sqrt n} = 6.0+1.8595\times \frac {0.5745}{\sqrt 9} = 6.356 μ=xˉ+t0.05(8)n s=6.0+1.8595×9 0.5745=6.356
随机取某种炮弹 9 发做试验，求得炮口速度的样本标准差 S = 11 ( m / s ) S = 11(m/s) S=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布 N ( μ , σ ) N(μ,\sigma) N(μ,σ)，求炮口速度的均方差 σ σ σ的置信度为 0.95 的双侧置信区间。
解： 1 − α = 0.95 α = 0.05 α / 2 = 0.025 n − 1 = 8 s 2 = 121 查 表 : χ 0.025 2 ( 8 ) = 17.535 χ 0.975 2 ( 8 ) = 2.180 ∴ ( n − 1 ) s 2 χ α / 2 2 ( n − 1 ) = 968 17.535 = 55.203 ( n − 1 ) s 2 χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) = 968 2.180 = 444.036 ∴ 均 方 差 σ 的 置 信 区 间 ： ( σ ‾ , σ ‾ ) = ( 55.203 , 444.036 ) = （ 7.4 , 21.1 ） 1-\alpha = 0.95 \qquad \alpha= 0.05 \qquad \alpha/2 = 0.025 \qquad n-1=8 \qquad s^2=121\\ 查表:\qquad \chi_{0.025}^2(8)=17.535\qquad \chi_{0.975}^2(8)=2.180\\ \therefore\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}=\frac{968}{17.535}=55.203\qquad\frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\frac \alpha2}^2(n-1)}=\frac{968}{2.180}=444.036\\ \therefore均方差\sigma的置信区间：\qquad (\underline\sigma,\overline\sigma) = (\sqrt{55.203},\sqrt{444.036}) = （7.4,21.1） 1−α=0.95α=0.05α/2=0.025n−1=8s2=121查表:χ0.0252(8)=17.535χ0.9752(8)=2.180∴χα/22(n−1)(n−1)s2=17.535968=55.203χ1−2α2(n−1)(n−1)s2=2.180968=444.036∴均方差σ的置信区间：(σ,σ)=(55.203 ,444.036 )=（7.4,21.1）
研究两种燃料的燃烧率，设两者分别服从正态分布 N ( μ 1 , 0.0 5 2 ) , N ( μ 2 , 0.0 5 2 ) N(\mu_1,0.05^2),N(\mu_2,0.05^2) N(μ1,0.052),N(μ2,0.052)。取样本容量 n 1 = n 2 = 20 n_1= n_2 = 20 n1=n2=20 的两组独立样本，求得燃烧率的样本均值分别为 18，24，求两种燃料燃烧率总体均值差 ( μ 1 − μ 2 ) (\mu_1 - \mu_2) (μ1−μ2) 的 置信度为 0.99 的双侧置信区间.
解： 1 − α = 0.99 α = 0.01 α / 2 = 0.005 n 1 = n 2 = 20 n 1 + n 2 − 2 = 38 查 表 : z 0.005 = 2.58 ∴ δ = z α 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 0.04 ∴ ( μ 1 − μ 2 ) 的 置 信 度 为 0.99 的 双 侧 置 信 区 间 ： ( μ 1 − μ 2 ‾ , μ 1 − μ 2 ‾ ) = ( X ˉ − Y ˉ − δ , X ˉ − Y ˉ + δ ) = （ − 6.04 , − 5.96 ） 1-\alpha = 0.99 \qquad \alpha= 0.01 \qquad \alpha/2 = 0.005 \qquad n_1=n_2=20 \qquad n_1+n_2-2=38\\ 查表:z_{0.005}=2.58\\ \therefore\delta =z_\frac \alpha2 \sqrt {\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}=0.04\\ \therefore(\mu_1 - \mu_2)的 置信度为 0.99 的双侧置信区间：\\ \qquad (\underline{\mu_1 - \mu_2},\overline{\mu_1 - \mu_2}) = (\bar X- \bar Y - \delta,\bar X- \bar Y +\delta ) = （-6.04,-5.96） 1−α=0.99α=0.01α/2=0.005n1=n2=20n1+n2−2=38查表:z0.005=2.58∴δ=z2αn1σ12+n2σ22 =0.04∴(μ1−μ2)的置信度为0.99的双侧置信区间：(μ1−μ2,μ1−μ2)=(Xˉ−Yˉ−δ,Xˉ−Yˉ+δ)=（−6.04,−5.96）
两化验员甲,乙各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做 10 次测量，分别求得测定值的样本方差为 s 1 2 = 0.5419 , s 2 2 = 0.6065 s_1^2 = 0. 5419,s_2^2 = 0. 6065 s12=0.5419,s22=0.6065，设测定值总体,分别服从正态分布 N ( μ 1 , σ 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_1,\sigma^2),N(\mu_2,\sigma^2) N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)，试求方差比 ( σ 1 2 / σ 2 2 ) (\sigma_1^2/\sigma_2^2) (σ12/σ22) 的置信度为 0. 95 的双侧置信区间.
解： 1 − α = 0.95 α / 2 = 0.025 n 1 − 1 = n 2 − 1 = 9 查 表 : F 0.025 ( 9 , 9 ) = 4.03 F 0.975 ( 9 , 9 ) = 0.248 s 1 2 = 0.5419 s 2 2 = 0.6065 ∴ ( S 1 2 / S 2 2 F α / 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) , S 1 2 S 2 2 F α 2 ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) ) = ( 0.5419 / 0.6065 4.03 , 0.5419 0.6065 × 4.03 ) = ( 0.222 , 3.601 ) 1-\alpha = 0.95 \qquad \alpha/2 = 0.025 \qquad n_1-1=n_2-1=9 \\ 查表:F_{0.025}(9,9)=4.03\qquad F_{0.975}(9,9)=0.248\\ s_1^2=0.5419\qquad s_2^2=0.6065\\ \therefore\qquad\left (\frac {S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\frac {S_1^2} {S_2^2}F_\frac\alpha2 (n_1-1,n_2-1)\right) = (\frac{{0.5419}/{0.6065}}{4.03},\frac{0.5419}{0.6065}\times4.03)=(0.222,3.601) 1−α=0.95α/2=0.025n1−1=n2−1=9查表:F0.025(9,9)=4.03F0.975(9,9)=0.248s12=0.5419s22=0.6065∴(Fα/2(n1−1,n2−1)S12/S22,S22S12F2α(n1−1,n2−1))=(4.030.5419/0.6065,0.60650.5419×4.03)=(0.222,3.601)
附： \qquad 第九章传送门
