数学分析中的点荟萃（持续补充）

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数学分析中的点荟萃（持续补充）导数篇常用求导公式导数技巧微分中值定理基本认知 积分篇积分技巧常用积分表处理原则积分表 格林公式和高斯公式格林公式高斯公式 积分等式积分中值定理积分第一中值定理积分第二中值定理 广义积分柯西判别法无穷限积分瑕积分 定积分的应用公式记忆（求弧长、面积等）参数方程弧长公式面积公式 极坐标弧长公式面积公式 直角坐标弧长公式面积公式 旋转体积和面积旋转体体积旋转面面积 极限和连续篇极限技巧基本认知二阶曲面方程 函数篇泰勒展开定义常见函数泰勒级数（在x=0出展开） 一些重要的特定函数符号函数黎曼函数狄利克雷函数分段三角函数分段指数函数其他函数双曲函数二元函数$\Gamma$和$\beta$函数 常用等价无穷小一般stirling 公式 一些共识 不等式和等式篇不等式Young 不等式无名不等式均值不等式Holder 不等式闵可夫斯基(Minkowski)不等式若尔当不等式伯努利不等式三角不等式对数不等式杂牌不等式 等式平方和与立方和二项式公式和n方差公式基本三角公式积化和差和差化积三倍角公式倍角关系（半角和二倍角） $\pi$相关积分杂牌等式

导数篇

常用求导公式

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

导数技巧

善于利用$(e^{MN}{)}^{\prime }=e^M(N^{\prime }+M^{\prime }N)$。习惯地吧$\sqrt[n]{a}$写成分数指数的形式。常用手段：$a^b=e^{b\ln a}$要用到罗尔定理的证明题，当构造不出导函数是含$\xi$的那个表达式时，不妨添加一个$x^n$上去，即 $$f^{\prime }(\xi )=0\iff {\xi }^n{f}^{\prime }(\xi )=0$$用微分中值定理做不出来的时候，不妨试一下柯西中值定理，别在一棵树上吊死，左右开弓，同时向标准结果推进。可导一定连续，但是不连续并不代表不可导。连续点的导数可以用求导法则求，这和定义法求导是一致的，不连续点的导数只能用定义求。分段函数在断点处是否连续，只要看上下两段是否能通过极限接上。$x^x$求导，不能简单利用复合函数求导。要用求导规则求函数在一个点处的导数，首先要判断在这一点处是连续的，不连续只能用定义。证明题可以先想好用什么定理（工具）去证，然后再想办法把题目向这个工具靠拢。对于平面 $F(x,y,z)=0$，$z_x^{\prime }=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}$。

微分中值定理

假设函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续且在开区间 $(a,b)$ 可微，则存在一点 $c,a<c<b$, 使得 $$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ 注意，这里的条件强调闭区间内连续，开区间内可导。

基本认知

如果在某点可导，基本上条件算非常好了。达布定理其实就是导函数的介值定理。若$f(x)=\frac{1}{x+\square }$，那么 $$f^n(x)=(-1{)}^n\frac{n!}{(x+\square {)}^{n+1}}$$$(e^{\lambda x}{)}^{(n)}={\lambda }^n{e}^{\lambda x}$洛必达法则有时候颠倒一下分子分母做出来的结果是不一样的。

积分篇

积分技巧

出现 $\ln (x)$，要么用分部积分，要么用 $\ln (x)=u$整体替换，从而消掉它。不定积分主要是动手去试，不试是看不出什么端倪来的。配平分母时，如果分母含系数，分母最好化为首 1 的形式。凡遇有理多项式的求定积分的问题，即使在开根号中，首先反应的应该是配方。万能代换：$$t=\tan \frac{\theta }{2}$$$$\sin \theta =\frac{2t}{1+t^2}$$$$\cos \theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$$$$d\theta =\frac{2}{1+t^2}dt$$求积分，学会补项，学会用 1 的代换，分子有常数，最好把它拆出来。求积分，当为$\int \frac{\cdot }{\sqrt{M}}$形式时，两条路。1、向$\int \frac{\cdot }{\sqrt{1-x^2}}$靠拢。2、换元成$\int \frac{\cdot }{\sqrt{t}}$或者$\int \frac{\cdot }{t}$的形式。遇到高次的三角函数，要懂得用半角公式将其降次，对于三角函数降次是最有效手段，换元法也是好手段。一眼看不出来的题目贵在尝试，不要光看不写。$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+\square }}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+\square }\right|+C$$求形如$\int xf(x)dx$，不妨试一下分部积分。求积分时，能够化成多项相加减的，尽量化成多项，然后分别求积分。学会判断习题做法的单道性，然后不出轨地沿一条道走下去。$\sin \alpha$和$\cos \alpha$可以利用分布积分巧妙子转化。碰到被积函数的分母时有理多项式，更倾向于分子也含未知数。换元的时候要考虑怎么换，不要一味地去掉开根号符号，有时保留这个符号，只换开根号里面的东西，未尝不是一件好事。求定积分，就是要用逆向思维，把积分号里面的东西尽可能地变成我们所熟知的东西。这是凑微分法的精髓所在。积分里面喜减不喜乘，所以能化成减的尽量化成减，包括用 1 的代换。函数在闭区间上连续，那么可积。如果不连续，满足间断点有限个，或者单调，那么也是可积的。基本思想：分割->近似->求和->取极限。$\int \ln \sqrt{x^2+y^2}dx$可用分部积分。$\int \ln xdex=x\ln x-x+C$海伦公式计算面积：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p=\frac{a+b+c}{2}$。$\cos (n,x)ds=dydz$二阶正交矩阵一定具有旋转矩阵的形式第二类积分不能使用积分区域进行替换积分的变量替换，椭圆的情况，令$x=ar\cos \theta ,y=br\sin \theta$，出来一个$abr$。三重球积分，作$$x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \phi$$ 出来一个$r^2\sin \phi$。

常用积分表

处理原则

$$\frac{\square }{\sqrt{a^2-x^2}}\stackrel{令x=a\sin t}{⟶}$$ $$\frac{\square }{\sqrt{a^2+x^2}}\stackrel{令x=a\tan t}{⟶}$$ $$\frac{\square }{\sqrt{x^2-a^2}}\stackrel{令x=\frac{a}{\cos t}}{⟶}$$

积分表

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

$$\begin{array}{l}\int \frac{1}{{\left(a^2\pm x^2\right)}^n}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a^2(n-1)}[\frac{x}{{\left(a^2\pm x^2\right)}^{n-1}}\\ +(2n-3)\int \frac{1}{{\left(a^2\pm x^2\right)}^{n-1}}\mathrm{d}x],n\ne 1\end{array}$$

$$\int \sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\right)+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$$

$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$$

$$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C$$

$$\int \frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$$

$$\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin \frac{x}{a}\right)+C$$

格林公式和高斯公式

格林公式

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 困成，函数 $P(x,y)$ 及 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有 ${\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy={\oint }_{L}Pdx+Qdy$ 其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线。

高斯公式

设空间有界闭合区域 $\Omega$，其边界 $\partial \Omega$ 为分片光滑闭曲面。函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 及其一阶偏导数在 $\Omega$上连续，那么: $${\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V={\iint }_{\partial \Omega }P\mathrm{d}ydz+Q\mathrm{d}zdx+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

积分等式

$${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$$ $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$$ $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(x)+f(-x)dx$$ $$\frac{x^b-x^a}{\ln x}={\int }_a^b{x}^{y}dy$$

积分中值定理

积分第一中值定理

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为一连续函数 $,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ 要求 $g(x)$ 是可积函数目在积分区间不变号，那么存在一点 $\xi \in [a,b]$ 使得 $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$

积分第二中值定理

若$f,g$在$[a,b]$上黎曼可积且$f(x)$在$[a,b]$上单调，则存在$[a,b]$上的点使 $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(a){\int }_a^{\xi }g(x)dx+f(b){\int }_{\xi }^{b}g(x)dx$$

广义积分柯西判别法

无穷限积分

若$f(x)\le \frac{c}{x^p}$，且$p>1$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$收敛。 若$f(x)\ge \frac{c}{x^p}$，且$p\le 1$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$发散。 极限形式： 若有$p>1$，是 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^p|f(x)|=l$，且$0\le l<+\infty$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$收敛。 若有$p<1$，是 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^p|f(x)|=l$，且$0<l\le +\infty$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$发散。

瑕积分

若有$p<1$，使得$|f(x)|\le \frac{c}{(x-a{)}^p}$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$收敛。 若有$p\ge 1$，使得$|f(x)|\ge \frac{c}{(x-a{)}^p}$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$发散。

极限形式： 若有$p<1$，是 $\underset{x\to a}{\lim }(x-a{)}^p|f(x)|=k$，且$0\le k<+\infty$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$收敛。 若有$p\ge 1$，是 $\underset{x\to a}{\lim }(x-a{)}^p|f(x)|=k$，且$0<k\le +\infty$，则${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$发散。

定积分的应用公式记忆（求弧长、面积等）

参数方程

弧长公式

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t$$

记忆法： 横纵坐标关于$t$的导数，做“勾股”定理，就得到了弧长关于$t$的导数，弧长的变化率，从头积分到尾，自然就得到了弧长。即 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}$。

面积公式

光说参数方程的面积，是没有意义的，因为如果曲线不闭合，你不知道求得面积是哪一块。 如果是$y=f(x)$类型的函数，那么取两端垂线和$x$轴围城的面积，如下表达： $$S={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\left|x^{\prime }(t)\right|\mathrm{d}t$$

记忆法：$S={\int }_{}^{}y\mathrm{d}x$，可以得到。

如果是闭合曲线，那么他的面积就有意义了，就是围成的部分的面积，它的表达式如下： $$S={\int }_a^{\beta }x(t)y^{\prime }(t)\mathrm{d}t=-{\int }_a^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$$

记忆法: 格林公式告诉我们,$S={\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\int }_{\partial D}(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x)={\int }_{\partial D}x\mathrm{d}y={\int }_{\partial D}-y\mathrm{d}x$.

极坐标

弧长公式

$$s={\int }_a^{\beta }\sqrt{r(t{)}^2+r^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t$$

我($r$)和我的祖国($r^{\prime }$)，“勾股”融合，一起起飞。

面积公式

$$S=\frac{1}{2}{\int }_a^{\beta }{r}^2(t)\mathrm{d}t$$

记忆法： 圆：$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{r}^2(t)\mathrm{d}t$

直角坐标

弧长公式

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x$$

记忆法： 参数方程的特例，令$t=x$。

面积公式

$$S={\int }_a^b(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$$

记忆法： 符合直觉的。

旋转体积和面积

旋转体体积

连续曲线 $y=f(x)⩾0(a⩽x⩽b)$ 与 $x$ 轴及 $x=a,x=b$ 所 围图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 $V=\pi {\int }_0^b{f}^2(x)\mathrm{d}x.$

记忆法： 圆的截面面积，沿着$x$的方向积分就可以了。即 $V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$，非常符合直觉。 切西瓜，横着切也行，竖着切也行。切萝卜，切片，切条，切块，切丝，怎么切好吃（好积分）怎么来，都可以的。

旋转面面积

$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t$$ 如果取直角坐标呢，就是一个特殊的情况。 $$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x$$

记忆法： 周长 $2\pi y$ 沿着弧长方向积就是了。即 $S=2\pi {\int }_0^{L}y\mathrm{d}s$，$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}$ 总是关键的。为什么是沿着弧长方向，而不是和体积一样，沿着$x$方向呢？任何的量的积分，积分方向一定要垂直于这个量所在的方向，微元法值微妙，只可意会，不可言传。

极限和连续篇

极限技巧

当求极限时，若只涉及乘除，极限存在的情况下，极限符号可以直接穿。$x^{k}O(x^m)=O(x^{k+m})$欲消除$\sin (x)$，可以用等价无穷小，也可以用重要极限。证明题，一般喜欢吧存在性的$\xi$移到一边。一切证明，回归定义。三个小题的题目，尽量通过观察，找出前两个小题的关系，然后利用前一小题，解决后一小题。巧用切化弦公式。$$(1+\frac{\cdot }{n}{)}^n\to e^{\cdot }$$用泰勒公式求极限，更青睐于减的形式。以及 $\frac{\cdot }{x^n}$的形式（n大，x趋无穷或者n小，x趋于0）。用洛必达法则做题一定要谨慎又谨慎。一眼做不出来的证明，能用反正法的，尽量用反证法。计算：尽量吧分数和负号往前提出来，变成整数的加减法。行百里者半九十，越后面越小心。数列极限等于平均数的极限。求极限的技巧，不等关系和分母有理化。

基本认知

柯西列和收敛，函数（数列）某点的一致连续。有界数列，单调就收敛，存在一个子列收敛。连续函数在有界闭区间上一致连续，有界开区间端点左右极限存在，连续等价于一致连续。有界就有最：有界闭区间，最值存在。闭区间套长度趋于“0”，必有一点被他们所有的套套套住。闭区间的无限开覆盖，存在有限子覆盖。形式相同的无穷大相减，其实为0。如$x\to 0$，$\ln \tan x-\ln x\to 0$。被积函数连续，函数未必连续。

二阶曲面方程

平面方程： $$Ax+By+Cz+D=0$$

球面方程： $${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2$$

柱面方程： $$x^2+y^2=R^2（圆柱面）$$ $$y^2=2x（抛物柱面）$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（椭圆柱面）$$

除此之外，还有锥面方程、旋转曲面方程等等。这是几何的重点，而不是分析的重点，不再细述。

函数篇

泰勒展开

定义

无穷可微函数$f(x)$的泰勒级数： $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$ 这里， $n!$ 表示 $n$ 的阶乘 $,$ 而 $f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f$ 在点 $a$ 处的 $n$ 阶导数。如果 $a=0,$ 也可以把这个级数称为麦克劳林级数。

泰勒公式有皮亚诺、拉格朗日、柯西、积分等各种余项形式。

泰勒展开表示的是函数基于某个点处的一个表达。

常见函数泰勒级数（在x=0出展开）

$$\forall x\in \mathbb{C},e^x=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{x^n}{n!}$$ $$\forall x\in \mathbb{R},\sin x=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ $$\forall x\in \mathbb{R},\cos x=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ $$\forall x\in (-1,1],\ln (x+1)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$$ $$\forall x\in \mathbb{R},\forall \alpha \in \mathbb{N},(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\begin{array}{l}\alpha \\ n\end{array}\right)x^n$$

最后一个展开，当 $\alpha$ 不是正整数的时候，收敛域变成了(-1,1)，当然，还有更细致的划分，我就不说了。

一些重要的特定函数

符号函数

符号函数 ( Sign function，简称sgn ) 是一个逻辑函数，用以判断实数的正负号。为避免和英文读音相似的正弦函数（sine ) 混潜，它亦称为Signum function。其定义为： $$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ccc}-1& :& x<0\\ 0& :& x=0\\ 1& :& x>0\end{array}$$ 任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积 : $$x=(\mathrm{sgn}x)|x|$$

黎曼函数

定义于[0,1]上， $$R(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q},\text{ 其中 }p,q\in {\mathbb{N}}_{+}\text{且互质,}\\ 0,& x=0,1\text{ 或}(0,1)\text{内的无理数}\end{array}$$ 闭区间内可积，积分为0，无原函数，任意点的极限都等于0。 这是一个几乎接近于零的可积函数。

狄利克雷函数

定义狄利克雷函数 $$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 是有理数, }\\ 0,& x\text{ 是无理数, }\end{array}$$ 黎曼不可积函数，但是勒贝格可积。

分段三角函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$

在0点处不解析。 原函数可导，但是导函数不一定连续，但一定满足达布定理，也就是说比较连续。 导数不连续，零点不孤立，0为零点们的一个聚点。 提示：分段函数的导数值在分段点处应该用定义来求。

分段指数函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\frac{1}{x^2}},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$

$x=0$处有任意阶导数，但不一定能展开为泰勒级数。 秒趋无穷。

其他函数

双曲函数

双曲正弦: $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 双曲余弦: $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

二元函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-y}{x+y},& x+y\ne 0\\ 0,& x+y=0\end{array}$$ 二次极限存在不相等。

$\Gamma$和$\beta$函数

$$B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx=\frac{\Gamma (p)+\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$$ $$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{(s-1)}{e}^{-x}dx$$ $$\Gamma (n+1)=n!f$$

常用等价无穷小

一般

当 $x\to 0$ 时，

$\sin x\sim x$$\tan x\sim x$$\arcsin x\sim x$$\arctan x\sim x$$e^x-1\sim x$$\ln (x+1)\sim x$$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$$a^x-1\sim x\ln a(a>0,a\ne 1)$${\log }_a(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}(a>0,a\ne 1)$$(1+\beta x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha \beta x$

stirling 公式

$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$ $$\ln n!\sim n\ln n$$

一些共识

0 的负指数次方不等于 0。$\sin$函数半个周期的面积为2。指数函数的敛散速率大于幂函数念法：正弦余割，余弦正割。$\cot x=\frac{1}{\tan x}$：余切。$\csc x=\frac{1}{\sin x}$：余割。$\sec x=\frac{1}{\cos x}$：正割。下凸函数，$f(E(x))\le E(f(x))$，詹森不等式。证明不等式时，可以将不等式进行变换后再证。

不等式和等式篇

不等式

Young 不等式

在数学上，杨氏不等式，指出：假设 $a,b,p>1$ 和 $q>1$ 是正实数 ,且有$1/p+1/q=1$, 那么： $$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$ 等号成立当且仅当 $a^p=b^q$。特别地，如果我们取$p=q=2$，那么， $$ab\le \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$$ 这时，也叫柯西不等式。

无名不等式

设 $1\le p<+\infty$。 对任意的 $m\in \mathbb{N},a_j⩾0,j=1,2,\cdots ,m,$ 成立 $${\left(a_1+a_2+\cdots +a_m\right)}^p⩽m^{p-1}\left(a_1^p+a_2^p+\cdots +a_m^p\right)$$ 特殊地，取$m=2$时，我们有， $$(a+b{)}^p⩽2^{p-1}\left(a^p+b^p\right),\forall a,b⩾0$$ 更特殊地，我们可以取$p=2$。 $$(a+b{)}^2⩽2\left(a^2+b^2\right),\forall a,b⩾0$$

均值不等式

如果 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是正数，定义调和平均，几何平均，算术平均和平方平均。 $$H_n=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$$ $$G_n=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$$ $$A_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$ $$Q_n=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$$ 那么， 则$H_n\le G_n\le A_n\le Q_n$。 当且仅当 $x_1=x_2=\cdots =x_n,$ 等号成立。 简记为： “调几算方”。 最后一个不等式，也就是我们前面提到的无名不等式。

Holder 不等式

$1\le p,q\le \infty$ 及 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，$x_i，y_i$是实数， $$\sum _{k=1}^n\left|x_k{y}_k\right|\le {\left(\sum _{k=1}^n{\left|x_k\right|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{k=1}^n{\left|y_k\right|}^q\right)}^{1/q}$$ 它的积分形式是， $$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$ 当$p=q=2$，便得到柯西-施瓦茨(Schwarz)不等式。 $${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)$$

闵可夫斯基(Minkowski)不等式

$1\le p\le \infty$, $${\left(\sum _{k=1}^n{\left|x_k+y_k\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\sum _{k=1}^n{\left|x_k\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}+{\left(\sum _{k=1}^n{\left|y_k\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$ 如果 $x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n>0,p<1,$ 则 $\le$ 可以变为 $\ge$。

它写成积分形式就是， $$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$ 如果 $1<p<\infty ,$ 等号成立当且仅当 $\exists k\ge 0,f=kg$ 或者 $g=kf$

若尔当不等式

$$\frac{2}{\pi }x⩽\sin x⩽x\left(0⩽x⩽\frac{\pi }{2}\right)$$

伯努利不等式

对实数$x>-1$： $$\{\begin{array}{ll}(1+x{)}^n\ge 1+nx,& n\ge 1\\ (1+x{)}^n\le 1+nx,& 0\le n\le 1\end{array}$$ 等号成立当且仅当n = 0,1，或x = 0吋。

三角不等式

$|a|-|b|\le |a-b|\le |a|+|b|$

对数不等式

当 x>-1 时， $$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$$ 取 $x=1/n$， $$\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$$

杂牌不等式

$$n^s>>{\ln }^{k}ns,k>0$$

等式

平方和与立方和

$$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$1^2+3^2+...+(2n-1{)}^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}$$ $$2^2+4^2+...+2n^2=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$$ $$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n(n+1{)}^2}{4}$$

二项式公式和n方差公式

二项式公式：

$$(a+b{)}^n=a^n+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+\cdots +C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+\cdots +b^n$$

n方差公式：

$$a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}{b}^1+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right)$$

$$a^{}-b^{}=\left(a^{1/n}-b^{1/n}\right)\left(a^{(n-1)/n}+a^{(n-2)/n}{b}^{1/n}+\cdots +a^{1/n}{b}^{(n-2)/n}+b^{(n-1)/n}\right)$$

基本三角公式

积化和差

$$\begin{array}{l}2\sin x\cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)\\ 2\cos x\sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)\\ 2\sin x\sin y-\cos (x-y)-\cos (x+y)\\ 2\cos x\cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)\end{array}$$

和差化积

$$\begin{array}{l}\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\\ \sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}\\ \cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\\ \cos x-\cos y=2\sin \frac{y-x}{2}\sin \frac{x+y}{2}\end{array}$$

三倍角公式

3元-4元3角=挣钱： $$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$$ 4元3角-3元=余钱： $$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$$ 两个相除： $$\tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{\tan }^3\alpha }{1-3{\tan }^2\alpha }$$

倍角关系（半角和二倍角）

$${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x}$$ $$1+\cos x=2{\cos }^2(\frac{x}{2})$$ $$1-\cos x=2{\sin }^2(\frac{x}{2})$$

$$\begin{array}{l}\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}\\ \tan \frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\end{array}$$

$\pi$相关积分

辛格函数 $${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$$ 概率积分 $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$ $\Gamma$函数 $$\Gamma [1/2]=\sqrt{\pi }$$

杂牌等式

$$\ln (1+h)=\frac{h}{1+\theta h},0<\theta <1$$ $${\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$$ $${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}dx=1$$ $$x>0\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$$