1023:最长上升子序列

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描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7 1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

处理思路：

dp解

找子问题

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个子问题，但这样分解问题，不具有“无后效性”假设F(n)= x,但可能有多个序列满足F(n)= x。有的序列的最后一个元素比a+1小，则加上ant就能形成更长上升子序列;有的序列最后一个元素不比ant1小……以后的事情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性” “求以ak(k=1，2，3…N)为终点的最长上升子序列的长度”一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

确定状态:

子问题只和一个变量–数字的位置相关。因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

找出状态转移方程:

maxLen(k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度那么: maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1001; int a[N], maxLen[N]; int main(){ int n, i, j; for (i = 0, scanf("%d", &n); i < n; i++) { scanf("%d", &a[i]); maxLen[i] = 1; } for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < i; j++) if (a[i] > a[j]) maxLen[i] = max(maxLen[i], maxLen[j]+1); printf("%d", *max_element(maxLen, maxLen+n)); return 0; }