命题：单调有界数列必定收敛，且收敛于其上确界或下确界。
证明：不妨设数列 { x n } \{x_n\} {xn}单调递增有上界，根据确界存在定理，由 { x n } \{x_n\} {xn}构成的数集一定存在上确界 β \beta β。根据上确界的性质，有
∀ n , x n ≤ β \forall n,x_n\le \beta ∀n,xn≤β； ∀ ε > 0 , ∃ n 0 , x n 0 > β − ε \forall \varepsilon>0,\exists n_0,x_{n_0}>\beta-\varepsilon ∀ε>0,∃n0,xn0>β−ε。这样，任给一个 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，取 N = n 0 N=n_0 N=n0，则 ∀ n > N \forall n>N ∀n>N， β − ε < x N ≤ x n ≤ β , \beta-\varepsilon <x_N\le x_n\le \beta, β−ε<xN≤xn≤β, 也就是 ∀ ε , ∃ n 0 \forall \varepsilon, \exists n_0 ∀ε,∃n0，当 n > n 0 n>n_0 n>n0时 ∣ x n − β ∣ < ε , |x_n-\beta|<\varepsilon, ∣xn−β∣<ε, 这就说明 x n x_n xn收敛于其上确界 β \beta β。
定义（闭区间套）：如果一列闭区间 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an,bn]}满足条件：
[ a n + 1 , b n + 1 ] ⊂ [ a n , b n ] , n = 1 , 2 , 3 , ⋯ [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n],n=1,2,3,\cdots [an+1,bn+1]⊂[an,bn],n=1,2,3,⋯； lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty }(b_n-a_n)=0 n→∞lim(bn−an)=0；则称这列闭区间形成一个闭区间套。
命题：如果 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an,bn]}形成一个闭区间套，则存在唯一的实数 ξ \xi ξ属于所有的闭区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn]，且 ξ = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n \xi=\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\lim\limits_{n\to \infty} b_n ξ=n→∞liman=n→∞limbn。
证明：由题意得到不等式 a 1 ≤ a 2 ≤ ⋯ ≤ a n < b n ≤ ⋯ ≤ b 2 ≤ b 1 , a_1\le a_2\le \cdots\le a_n<b_n\le \cdots \le b_2\le b_1, a1≤a2≤⋯≤an<bn≤⋯≤b2≤b1, 即 { a n } \{a_n\} {an}递增有上界， { b n } \{b_n\} {bn}递减有下界，那么 { a n } , { b n } \{a_n\},\{b_n\} {an},{bn}都有极限，设 ξ 0 = lim n → ∞ a n \xi_0 =\lim\limits_{n\to \infty}a_n ξ0=n→∞liman，则 lim n → ∞ b n = lim n → ∞ ( b n − a n ) + lim n → ∞ a n = ξ 0 , \lim_{n\to \infty}b_n=\lim_{n\to \infty}(b_n-a_n)+\lim_{n\to \infty}a_n=\xi_0, n→∞limbn=n→∞lim(bn−an)+n→∞liman=ξ0, 即 { a n } , { b n } \{a_n\},\{b_n\} {an},{bn}存在相同的极限 ξ 0 \xi_0 ξ0，令 ξ = ξ 0 \xi=\xi_0 ξ=ξ0，则得到 a n ≤ ξ ≤ b n a_n\le \xi \le b_n an≤ξ≤bn，即 ξ ∈ [ a n , b n ] \xi\in [a_n,b_n] ξ∈[an,bn]，且 ξ = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n . \xi =\lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}b_n. ξ=n→∞liman=n→∞limbn. 接下来证明 ξ \xi ξ的唯一性，不妨设另有实数 ξ ′ \xi' ξ′也属于所有的 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn]，则 a n ≤ ξ ′ ≤ b n a_n\le \xi'\le b_n an≤ξ′≤bn，令 n → ∞ n\to \infty n→∞，由极限的夹逼性得 ξ ′ = ξ \xi'=\xi ξ′=ξ，这就证明只能是 ξ ∈ [ a n , b n ] \xi\in [a_n,b_n] ξ∈[an,bn]。
定义（子列）：设 { x n } \{x_n\} {xn}是一个数列，而 n 1 < n 2 < ⋯ < n k < n k + 1 < ⋯ n_1<n_2<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots n1<n2<⋯<nk<nk+1<⋯是一列严格单调增加的正整数，则 x n 1 , x n 2 , ⋯ , x n k , ⋯ x_{n_1},x_{n_2},\cdots,x_{n_k},\cdots xn1,xn2,⋯,xnk,⋯ 也形成一个数列，称为 { x n } \{x_n\} {xn}的子列，记作 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk}。
命题（Bolzano-Weierstrass）：有界数列必有收敛子列。
证明：设数列 { x n } \{x_n\} {xn}有界，则存在实数 a 1 , b 1 a_1,b_1 a1,b1，使得 a 1 ≤ x n ≤ b 1 , ∀ n ∈ N + a_1\le x_n\le b_1,\forall n\in \N_+ a1≤xn≤b1,∀n∈N+。由于数列含有无穷多项，将 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]分成两个小区间 [ a 1 , a 1 + b 1 2 ] , [ a 1 + b 1 2 , b 1 ] \left[a_1,\dfrac{a_1+b_1}{2}\right],\left[\dfrac{a_1+b_1}{2},b_1\right] [a1,2a1+b1],[2a1+b1,b1]，至少存在一个区间包含数列 { x n } \{x_n\} {xn}中的无穷多项，把它记为 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2]，依此进行，可以得到 [ a 3 , b 3 ] [a_3,b_3] [a3,b3]……一直重复下去能够得到一个闭区间套 { [ a k , b k ] } \{[a_k,b_k]\} {[ak,bk]}，其中每一个闭区间 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ak,bk]中都含有数列 { x n } \{x_n\} {xn}中的无穷多项。
根据闭区间套定理，存在实数 ξ \xi ξ，满足 ξ = lim k → ∞ a k = lim k → ∞ b k \xi =\lim\limits_{k\to \infty}a_k=\lim\limits_{k\to \infty}b_k ξ=k→∞limak=k→∞limbk。现在可以证明数列 { x n } \{x_n\} {xn}一定有一个子列收敛于实数 ξ \xi ξ。
首先在 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]中取 { x n } \{x_n\} {xn}中的某一项记为 x n 1 x_{n_1} xn1，然后由于 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [a2,b2]中含有 { x n } \{x_n\} {xn}的无穷多项，就一定存在一个序号大于 n 1 n_1 n1的项，记为 x n 2 x_{n_2} xn2，依此进行，可以在 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ak,bk]中找到 x n k x_{n_k} xnk，这样就得到了数列 { x n } \{x_n\} {xn}的一个子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk}，满足 a k ≤ x n k ≤ b k a_k\le x_{n_k}\le b_k ak≤xnk≤bk，两边同时取极限就得到 lim k → ∞ x n k = ξ \lim\limits_{k\to \infty} x_{n_k}=\xi k→∞limxnk=ξ。
定义（基本数列）：如果数列 { x n } \{x_n\} {xn}具有以下特性：对于任意给定的 ε > 0 \varepsilon>0 ε>0，存在正整数 N N N，使得当 n , m > N n,m>N n,m>N时成立 ∣ x n − x m ∣ < ε |x_n-x_m|<\varepsilon ∣xn−xm∣<ε，则称数列 { x n } \{x_n\} {xn}是一个基本数列。
命题（Cauchy收敛准则）：数列 { x n } \{x_n\} {xn}收敛的充分必要条件是 { x n } \{x_n\} {xn}是基本数列。
证明：先证必要性，如果 { x n } \{x_n\} {xn}收敛于 a a a，则 ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ n > N , ∣ x n − a ∣ < ε \forall \varepsilon>0,\exist N,\forall n>N,|x_n-a|<\varepsilon ∀ε>0,∃N,∀n>N,∣xn−a∣<ε，那么对于 n , m > N n,m>N n,m>N，有 ∣ x n − x m ∣ = ∣ ( x n − a ) − ( x m − a ) ∣ ≤ ∣ x n − a ∣ + ∣ x m − a ∣ < 2 ε . |x_n-x_m|= |(x_n-a)-(x_m-a)|\le |x_n-a|+|x_m-a|<2\varepsilon. ∣xn−xm∣=∣(xn−a)−(xm−a)∣≤∣xn−a∣+∣xm−a∣<2ε. 就说明 { x n } \{x_n\} {xn}是一个基本数列。下证充分性。
先证明基本数列的有界性，取 ε 0 = 1 \varepsilon_0=1 ε0=1，则 ∃ N 0 \exist N_0 ∃N0， ∀ n > N 0 \forall n>N_0 ∀n>N0，取 m = N 0 m=N_0 m=N0，有 ∣ x n − x m ∣ = ∣ x n − x N 0 ∣ < 1 , x n ∈ [ x N 0 − 1 , x N 0 + 1 ] , |x_n-x_m|=|x_n-x_{N_0}|<1,\quad x_n\in [x_{N_0}-1,x_{N_0}+1], ∣xn−xm∣=∣xn−xN0∣<1,xn∈[xN0−1,xN0+1], 这就说明从 N 0 N_0 N0项开始的 x n x_n xn有界，即 { x n } \{x_n\} {xn}有界，那么 { x n } \{x_n\} {xn}中一定存在一个收敛子列 { x n k } \{x_{n_k}\} {xnk}收敛到 ξ \xi ξ。由基本列的定义， ∀ ε > 0 , ∃ N , ∀ n , m > N \forall \varepsilon >0,\exist N,\forall n,m>N ∀ε>0,∃N,∀n,m>N，有 ∣ x n − x m ∣ < ε , |x_n-x_m|<\varepsilon, ∣xn−xm∣<ε, 取 x m = x n k x_m=x_{n_k} xm=xnk，并令 k k k充分大，使得 n k > N n_k>N nk>N，再令 k → ∞ k\to \infty k→∞得到 ∣ x n − x m ∣ = ∣ x n − x n k ∣ → ∣ x n − ξ ∣ < ε |x_n-x_m|=|x_n-x_{n_k}|\to |x_n-\xi|<\varepsilon ∣xn−xm∣=∣xn−xnk∣→∣xn−ξ∣<ε
lim n → ∞ x n = ξ . \lim_{n\to \infty}x_n=\xi. n→∞limxn=ξ.
先用Cauchy收敛准则证明闭区间套定理，再用闭区间套定理证明确界存在定理。
对于一列闭区间套 { [ a n , b n ] } \{[a_n,b_n]\} {[an,bn]}，满足 [ a n + 1 , b n + 1 ] ⊂ [ a n , b n ] [a_{n+1},b_{n+1}]\sub [a_n,b_n] [an+1,bn+1]⊂[an,bn]且 lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 \lim\limits_{n\to \infty}(b_n-a_n)=0 n→∞lim(bn−an)=0。可以证明 { a n } \{a_n\} {an}是一个基本数列，因为对于 m > n m>n m>n，有 0 < a m − a n ≤ b n − a n → 0 ( n → ∞ ) . 0<a_m-a_n\le b_n-a_n\to 0\quad (n\to \infty). 0<am−an≤bn−an→0(n→∞). 从而由Cauchy收敛准则得到 lim n → ∞ a n = ξ \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\xi n→∞liman=ξ，并进一步有 lim n → ∞ b n = lim n → ∞ ( b n − a n ) + lim n → ∞ a n = ξ \lim\limits_{n\to \infty}b_n=\lim\limits_{n\to \infty}(b_n-a_n)+\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\xi n→∞limbn=n→∞lim(bn−an)+n→∞liman=ξ，再由 a n , b n a_n,b_n an,bn的单调性知 ξ \xi ξ是属于所有闭区间 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn]的唯一实数，证得了闭区间套定理。
设 S S S是非空有上界的实数集合， T T T是由 S S S的所有上界构成的集合，要证明 T T T有最小数，即 S S S有上确界。取 a 1 ∉ T , b 1 ∈ T a_1\notin T,b_1\in T a1∈/T,b1∈T，显然 a 1 < b 1 a_1<b_1 a1<b1，设 m 1 m_1 m1是区间 [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [a1,b1]的中点，则如果 m 1 ∈ T m_1\in T m1∈T，就令 [ a 1 , m 1 ] = [ a 2 , b 2 ] [a_1,m_1]=[a_2,b_2] [a1,m1]=[a2,b2]，否则令 [ m 1 , b 1 ] = [ a 2 , b 2 ] [m_1,b_1]=[a_2,b_2] [m1,b1]=[a2,b2]，即始终保持新区间的两端点一个属于 T T T另一个不属于 T T T。按照此规则可以构造一个闭区间套 [ a n , b n ] [a_n,b_n] [an,bn]，存在唯一实数 ξ \xi ξ属于所有的区间，只要证明 ξ ∈ T \xi\in T ξ∈T，就说明 ξ \xi ξ是集合 S S S的上确界。
如果 ξ ∉ T \xi\notin T ξ∈/T，则存在 x ∈ S x\in S x∈S， ξ < x \xi<x ξ<x，由 lim n → ∞ b n = ξ \lim\limits_{n\to \infty}b_n=\xi n→∞limbn=ξ可得，取 ε 0 = x − ξ 2 \varepsilon_0=\frac{x-\xi}{2} ε0=2x−ξ，有 ξ < b n < ξ + ε 0 < x \xi <b_n<\xi+\varepsilon_0<x ξ<bn<ξ+ε0<x，得到 b n < x b_n<x bn<x，这与 b n b_n bn是 S S S的上界矛盾。所以 ξ ∈ T \xi \in T ξ∈T，即 ξ \xi ξ是 S S S的上界。
如果 η ∈ T \eta\in T η∈T但 η < ξ \eta<\xi η<ξ，则由 lim n → ∞ a n = ξ \lim\limits_{n\to \infty}a_n=\xi n→∞liman=ξ可得，取 ε 0 = ξ − η 2 \varepsilon _0=\frac{\xi-\eta}{2} ε0=2ξ−η，有 η < ξ − ε 0 < a n < ξ \eta<\xi-\varepsilon_0<a_n<\xi η<ξ−ε0<an<ξ，这与 a n ∉ T a_n\notin T an∈/T矛盾，所以 ξ \xi ξ是 S S S的最小上界，即上确界。
由此，Cauchy收敛准则可推出确界存在定理。
上面的五个定理的相互证明构成一个环，即 确 界 存 在 定 理 ⇒ 单 调 有 界 定 理 ⇒ 闭 区 间 套 定 理 ⇒ 致 密 性 定 理 ⇒ 柯 西 收 敛 准 则 ⇒ 确 界 存 在 定 理 . 确界存在定理\Rightarrow 单调有界定理\Rightarrow 闭区间套定理\Rightarrow 致密性定理\Rightarrow 柯西收敛准则\Rightarrow 确界存在定理. 确界存在定理⇒单调有界定理⇒闭区间套定理⇒致密性定理⇒柯西收敛准则⇒确界存在定理. 因此，以上五个定理是相互等价的，每一个都可以称为实数系的基本定理。
