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朴素贝叶斯贝叶斯公式判别式模型 & 生成式模型朴素贝叶斯模型使用贝叶斯分类器代码 半朴素贝叶斯模型超父-SPODE(Super-Parent ODE)TAN(Tree Augmented Naive Bayes)

朴素贝叶斯

贝叶斯公式

​ 贝叶斯分类器是基于贝叶斯公式，之前写过一篇关于贝叶斯公式的文章：

判别式模型 & 生成式模型

​ 之前的几种模型都是判别式模型，而贝叶斯分类器是一种生成式模型，我自己的一个最简单的理解就是用概率的方式去考虑分类问题–万物皆概率。之前也有过一篇文章：

朴素贝叶斯模型

根据上面两个知识点，我们可以知道，贝叶斯分类器就是想用$p(y|x)=\frac{p(x,y)}{p(x)},y\in (c_1,c_2...c_i)$。根据之前的模型的概念，这个贝叶斯分类器模型的训练过程就是想让所有样本计算的$p(y|x)$与真实的$y$之间的差异，或者说损失最小。这里就定义了这个损失的概念： $$R(c_i|x)=\sum _{j=1}^N{\lambda }_{ij}P(c_i|x)$$

这个公式计算的是真实分类为$c_j$类别的样本被分成的$c_i$类别的损失。对$j$进行就和就是一个误判的样本对应其他各种类别的总体风险。我们的目标就是让这个目标函数降到最小。如果某种判定准则$h$可以让每个样本上对其他每类都能损失最小化，那么自然就可以在样本集整体上损失最小化。那么我们就是要找到这样一个准则，或者说映射关系，也可以说模型：叫做最优贝叶斯分类器: $h^{\ast }$：

$$h^{\ast }=arg\underset{y}{\min }(R(c|x))$$

然后，把$\lambda$定义成：

$${\lambda }_{ij}=\{\begin{array}{l}0,ifi=j\\ 1,ifi\ne j\end{array}$$

​ 那么$R(c|x)=1-P(c|x)$，其实也就是不等于正确那一类的所有类别的概率总和。

​ 那么，$h^{\ast }$就可以转换成： $$h^{\ast }=arg\underset{y}{\max }P(c|x)$$ ​ 从求最小就变成了求最大，这个分类器必须使得后验概率$P(c|x)$在每个样本上最大。

根据贝叶斯公式：$P(c|x)=\frac{P(x,c)}{p(x)}=\frac{P(c)P(c|x)}{P(x)}$。从这个公式中看，$P(c)$是每种类别的概率，这个东西的话，也成为先验概率，样本集固定了，这个东西就是可以通过样本集中的类别概率来统计的(大数定律)，可以用$c_i类别的样本数/样本集个数$。同样，$P(x)$就是样本$x$出现的概率。

那么，分类器在求解$P(c|x)$的上最大，可以转变为分类器模型让$P(x|c)$上最大。这里做这个转换，我的理解是这样的：对于新的样本，计算就是计算$P(c|x)$，也就是预测新样本的分类是$c$的概率。而这个概率可以通过贝叶斯公式来计算，其中最麻烦的就是$P(x|c)$，而求解这个东西的概率可以再拆分成按照属性来计算：$P(x|c)={\prod }_{i=1}^{d}p(x_i|c)$，也就是根据每种属性在样本集中的概率来计算。最终把这些概率连乘。而$P(c|x)=\frac{P(x,c)}{p(x)}=\frac{P(c)}{P(x)}{\prod }_{i=1}^{d}p(x_i|c)$。

当然，第四步中的公式是基于每个属性都是独立这一前提才成立的。后面还会提到不成立的情况。

如果是基于所有样本都是独立采样这一前提的话，那么$P(x)$这个对于所有的样本都是相同的，可以忽略，那么第四步中的公式就可以变成： $$P(c)\prod _{i=1}^{d}p(x_i|c)$$ 也就是贝叶斯分类器的基本形式。

使用贝叶斯分类器

​ 贝叶斯分类器作为一种生成模型的分类器，是计算每种类别的概率，哪个最大就确定是那种类别。配合第二点和第四点来理解这句话，借用《机器学习》书中的例子：

上面的是训练集，假设来了一个新的样本：

对于这样的一个样本，我们就是要去求解他的$P(c|x_i)$，那么，对于类别$C\in (好瓜，不是好瓜)$只有两个类别，是一个二分类问题。通过上面提到的模型，实际上是分别求解新样本为好瓜情况下的$p(c)$、$p(x)$、$p(x|c)$这三个值，然后得到是好瓜的概率，然后再计算不是好瓜情况下的$p(c)$、$p(x)$、$p(x|c)$这三个值，然后得到是不是好瓜的概率。根据上一章节中，我们的规律是要最大化这个概率的，那么我们就是要选概率大的，所以计算出来的类别中，哪个概率大，这个样本的分类就是哪个。

先看下$p(c)$，这个数是样本集定了就定了。就是某个类别占样本集中的比例；那么，$p(c_0)=\frac{好瓜数}{总数}=\frac{8}{17}=0.471$；$p(c_1)=\frac{不是好瓜数}{总数}=\frac{9}{17}=0.529$.

然后就是计算每个属性在样本集中概率了，概率比较好算，就是样本中类别为$c_i$的，每种属性的概率(公式1)： $$P(x_i|c)=\frac{|D_{c,x_i}|}{D_c}$$

举个栗子：

这里还有几个连续属性的没有计算，这些连续属性的话，一般假定服从正太分布：

这里还需要先针对样本集计算连续值的均值${\mu }_{c,i}$和方差${\sigma }_{c,i}$。然后再代入$x_i$进行计算：

概率出来之后，然后把好瓜的相关概率进行相乘，计算等于0.038。而不是好瓜的概率计算等于$6.8\times 10^{-5}$。所以这个样本的类别会被判定为好瓜，然后这里把新样本纳入到样本集中，进行持续学习。

上面的概率计算有一个问题，可以看到概率的连乘之后是一个很小的数了，如果再多几个属性，可能都会趋向于0，而在计算机中也会导致精度不够，最后都等于0，所以会在之前的连乘前加上$log$运算： $$log(p(x|c))=log(\prod _{i=1}^{d}p(x_i|c))=\sum _{i=1}^{d}log(p(x_i|c))$$

平滑与修正。

这里还存在一个问题，如果使用第三步中的公式中分子为0，也就是说在样本集中如果某个属性不存在。那么不管如何计算都会等于0。所以需要进行一下修改(公式2)： $$\hat{P}(x_i|c)=\frac{D_{c,x_i}+1}{|D_c|+N_i}$$ 这里面的$N_i$就是第$i$个属性可能的取值数目。

代码

​ 训练代码就是根据上面的公式计算各个属性对应的各个类别的概率，形成向量。

def trainNB0(trainMatrix,trainCategory): numTrainDocs = len(trainMatrix) numWords = len(trainMatrix[0]) pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs) p0Num = ones(numWords); p1Num = ones(numWords) #change to ones() p0Denom = 2.0; p1Denom = 2.0 #change to 2.0 for i in range(numTrainDocs): if trainCategory[i] == 1: p1Num += trainMatrix[i] p1Denom += sum(trainMatrix[i]) else: p0Num += trainMatrix[i] p0Denom += sum(trainMatrix[i]) p1Vect = log(p1Num/p1Denom) #change to log() p0Vect = log(p0Num/p0Denom) #change to log() return p0Vect,p1Vect,pAbusive

​ 判别的话就是根据这些向量直接进行概率计算。

def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1): p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1) #element-wise mult p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1.0 - pClass1) if p1 > p0: return 1 else: return 0

半朴素贝叶斯模型

​ 朴素贝叶斯的朴素之处就在于假设所有的属性都是相互独立的，所以公式$P(x|c)={\prod }_{i=1}^{d}p(x_i|c)$才成立。但显然很多情况下，这个假设是不成立的。那么把样本间的属性分量的相互依赖关系引入贝叶斯公式中，就形成了一些其他半朴素贝叶斯模型。

​ 如果属性之间有依赖关系的话，需要将上面的公式做一个改造： $$P(c)\prod _{i=1}^{d}p(x_i|c,p{a}_i)$$ ​ 其中的$p{a}_i$是指属性$x_i$所依赖的属性。然后根据上面的公式2来解释这个公式就是样本集中样本为$c$，依赖$pa$属性的属性的个数。

​ 而这些相互依赖关系，最简单也是最常用的一种就是“独依赖估计”策略。所谓的“独依赖”就是假设每个属性在类别之外最多仅依赖于一个其他的属性。根据不同的依赖方法，可以形成不同的独依赖模型。

超父-SPODE(Super-Parent ODE)

​ 选择一个属性作为其他属性的依赖属性，这里使用交叉验证来挑其中某个属性来作为其他的依赖属性。需要注意一下的是，图中的边的含义按照箭头方向是指属性$x_1$决定$x_2$，或者说$x_2$依赖于$x_1$：

TAN(Tree Augmented Naive Bayes)

​ TAN是基于最小生成树算法来生成：

通过某种策略计算属性与属性之间权重函数$I(x_i,x_j|y)$。

以属性为节点构建完全图，节点与节点之间的权重就是第一步中的权重函数。

应用最小生成树算法(

)，在这个完全图上生成一份最小生成树。

加入类别节点$y$，增加从$y$到每个属性节点的有向边。