第三章，矩阵，05-逆矩阵

第三章，矩阵，05-逆矩阵

定义逆矩阵的唯一性非奇异矩阵 矩阵可逆的判定伴随矩阵矩阵可逆的判定定理分块对角阵的逆矩阵矩阵可逆的推论 逆矩阵性质1.可逆矩阵A的逆矩阵$A^{-1}$是可逆矩阵，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$2.同阶可逆矩阵A、B的乘积$AB$是可逆矩阵，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$3.可逆矩阵A与非零数k的乘积kA是可逆矩阵，且$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$4.可逆矩阵A的转置矩阵$A^T$是可逆矩阵，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。5.若A可逆，则有$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$6.同阶可逆矩阵A与B的和或差$A\pm B$不一定可逆 证明claimer法则 玩转线性代数(17)逆矩阵的笔记

定义

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得 $$AB=BA=E$$ 则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B为A的逆矩阵，记$B=A^{-1}$

逆矩阵的唯一性

证明： 若B和C都是A的逆矩阵，则： $$AB=BA=E,AC=CA=E$$ 那么： $$B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$$

非奇异矩阵

若矩阵A可逆，则$|A|\ne 0$，称矩阵A为非奇异矩阵。 证明： A可逆，则有$A{A}^{-1}=E$，两边同时求行列式： $$|A{A}^{-1}|=|E|=1$$ 有$|A||A^{-1}|=1$, 故$|A|\ne 0$

矩阵可逆的判定

伴随矩阵

若矩阵A的逆$A^{-1}$存在，对$A{A}^{-1}=E$进行分块： $A{A}^{-1}=E=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^T\\ {\alpha }_2^T\\ ⋮\\ {\alpha }_n^T\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1\end{array}\right)$ 即 $\left(\begin{array}{ccc}{\alpha }_1^T{b}_1& \cdots & {\alpha }_1^T{b}_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_n^T{b}_1& \cdots & {\alpha }_n^T{b}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1\end{array}\right)$ 则有${\alpha }_i^T{b}_j=\{\begin{array}{l}1i=j\\ 0i\ne j\end{array}$, ${\alpha }_i^T$与$b_j$是两个向量，令$b_j$的元素为${\alpha }_i$各元素对应的代数余子式，则有： ${\alpha }_i^T{b}_j=\{\begin{array}{l}|A|i=j\\ 0i\ne j\end{array}$ 所以引入矩阵$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$称为A的伴随矩阵。注意$A^{\ast }$中元素的排列顺序，则有 $$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}|A|& & \\ & \ddots & \\ & & |A|\end{array}\right)=|A|E_n$$ 只要$|A|\ne 0$，将|A|提到左边，得： $A(\frac{A^{\ast }}{|A|})=(\frac{A^{\ast }}{|A|})A=E$

矩阵可逆的判定定理

n阶矩阵$A=(a_{ij})$可逆的充要条件是A为非奇异矩阵，即行列式不为0 $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$ 其中 $$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$ 称为A的伴随矩阵，$A_{ij}$是|A|中元素$a_{ij}$的代数余子式。 证明

必要性 A可逆$\Rightarrow |A|\ne 0,且A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$充分性 $|A|\ne 0$,存在$\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=A\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }=E$,故A可逆。

分块对角阵的逆矩阵

对各分块矩阵分别求逆即可 一般地，若有分块对角阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)$, 若每一$|A_i|\ne 0$，则$A_i^{-1}$存在，由 $$\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_s^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_s{A}_s^{-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{E}_1& & \\ & \ddots & \\ & & E_s\end{array}\right)$$ 便得： $$A^{-1}={\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& & \\ & \ddots & \\ & & A_s\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{A}_1^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & A_s^{-1}\end{array}\right)$$

矩阵可逆的推论

若AB=E(或BA=E)，则$B=A^{-1}$ 证： 由$AB=E_n$，得$|AB|=|A||B|=|E_n|=1$， 从而$|A|\ne 0$，由定理知A必为可逆矩阵； 将等式$AB=E_n$两边左乘以A的逆矩阵$A^{-1}$， 得$B=A^{-1}$， 证毕。

逆矩阵性质

1.可逆矩阵A的逆矩阵$A^{-1}$是可逆矩阵，且$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

证： 若A可逆，则有$A^{-1}$存在，使得$A^{-1}A=E$，由判定定理知$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

2.同阶可逆矩阵A、B的乘积$AB$是可逆矩阵，且$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

证： 因为A、B可逆，故$A^{-1}、B^{-1}$存在。 由 $(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=I$ 得 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

3.可逆矩阵A与非零数k的乘积kA是可逆矩阵，且$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

证： 因为A可逆，所以$|A|\ne 0$。而$|kA|=k^n|A|$，故$|kA|\ne 0$。所以kA是可逆矩阵。 以因$(kA)(\frac{1}{k}{A}^{-1})=(k\cdot \frac{1}{k})(A{A}^{-1})=A{A}^{-1}=I$，可知 $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

4.可逆矩阵A的转置矩阵$A^T$是可逆矩阵，且$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$。

证： 因A可逆，故$|A^T|=|A|\ne 0，$从而$A^T$是可逆矩阵。 由 $A^T(A^{-1}{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=(A^{-1}A{)}^T=E^T=E$ 可知 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

5.若A可逆，则有$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

证： 因为A可逆，所以$A^{-1}$存在。 而 $|A{A}^{-1}|=|A||A^{-1}|=|E|=1$， 故有 $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

6.同阶可逆矩阵A与B的和或差$A\pm B$不一定可逆

如A，B各元素互为相反数，和为零矩阵

证明claimer法则

claimer法则 证明： 采用$X=A^{-1}b=\frac{A^{\ast }}{|A|}b$,再将伴随矩阵写出来。