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一、常见的关系的性质二、关系的性质示例三、关系运算性质

一、常见的关系的性质

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在 自然数集 $N=\{0,1,2,\cdots \}$ 上 , 如下关系的性质 :

1. 小于等于关系 ：

小于等于关系 :

符号化描述 : $\le =\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x\le y\}$

关系性质 : 自反 , 反对称 , 传递

2. 大于等于关系 ：

大于等于关系 :

符号化描述 : $\ge =\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x\ge y\}$

关系性质 : 自反 , 反对称 , 传递

3. 小于关系 ：

小于关系 :

符号化描述 : $<=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x<y\}$

关系性质 : 反自反 , 反对称 , 传递

4. 大于关系 ：

大于关系 :

符号化描述 : $>=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x>y\}$

关系性质 : 反自反 , 反对称 , 传递

5. 整除关系 :

整除关系 :

符号化描述 : $|=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x|y\}$

关系性质 : 反对称 , 传递

$x|y$ 中的 $|$ 符号是整除的意思 , $x$ 整除 $y$ ;

$x$ 整除 $y$ , $x$ 是除数 (分子) , $y$ 是被除数 (分母) ; $\frac{y}{x}$

$y$ 能被 $x$ 整除 , $x$ 是除数 (分子) , $y$ 是被除数 (分母) ; $\frac{y}{x}$

整除关系中 , 一定要注意 , 只能非 $0$ 整除 $0$ , $0$ 不能整除非 $0$ , 即 $0$ 只能作被除数 , 不能作除数 ;

参考 : 【集合论】二元关系 ( 特殊关系类型 | 空关系 | 恒等关系 | 全域关系 | 整除关系 | 大小关系 ) 三、 整除关系

6. 恒等关系 :

恒等关系 :

符号化描述 : $I_N=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x=y\}$

关系性质 : 自反 , 对称 , 反对称 , 传递

7. 全域关系 :

全域关系 :

符号化描述 : $E_N=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\}=N\times N$

关系性质 : 自反 , 对称 , 传递

自反 , 反对称的关系 , 称为偏序关系 ;

二、关系的性质示例

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关系图关系判定 :

① 自反 : 关系图中所有顶点 都有环 ;② 反自反 : 关系图中所有顶点 都没有环 ;③ 对称 : 两个顶点之间 有 $0$ 个或 $2$ 个有向边 ;④ 反对称 : 两个顶点之间 有 $0$ 个或 $1$ 个有向边 ;⑤ 传递 : 前提 $a\to b,b\to c$ 不成立 默认传递 , 前提 $a\to b,b\to c$ 成立 必须满足 $a\to c$ 存在 ;

1. $R_1=\{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>\}$ :

绘制上述关系的关系图 : 反对称 , 传递

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是 $1$ 条有向边 , 顶点之间只有 $0/1$ 条边 , 是 反对称 的 ;

传递 : $a\to b,b\to c$ 成立 , $a\to c$ 存在 , 传递性 成立 ;

2. $R_2=\{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,a>\}$ :

绘制上述关系的关系图 : 反对称

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是 $1$ 条有向边 , 顶点之间只有 $0/1$ 条边 , 是 反对称 的 ;

传递 : $a\to b,b\to c$ 成立 , $a\to c$ 不存在 , 传递性 不成立 ;

3. $R_3=\{<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>\}$ :

绘制上述关系的关系图 : 自反 , 对称 , 传递

自反/反自反 : 所有顶点都有环 , 自反性 成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是 $0$ 或 $2$ 条有向边 , 顶点之间只有 $0/2$ 条边 , 是 对称 的 ;

传递 : 传递性 成立 ;

前提 $a\to b,b\to a$ , 对应存在 $a\to a$前提 $b\to a,a\to b$ , 对应存在 $b\to b$

4. $R_4=\{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,c>\}$ :

绘制上述关系的关系图 : 对称

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是 $0$ 或 $2$ 条有向边 , 顶点之间只有 $0/2$ 条边 , 是 对称 的 ;

传递 : 传递性 不成立 ;

前提 $a\to b,b\to a$ , 对应存在 $a\to a$ 前提 $b\to a,a\to b$ , 不存在对应的 $b\to b$ , 这里传递性不成立 ;

5. $R_5=\{<a,a>,<a,b>,<b,b>,<c,c>\}$ :

绘制上述关系的关系图 : 自反 , 反对称 , 传递

自反/反自反 : 所有顶点都有环 , 自反性 成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是 $0$ 或 $1$ 条有向边 , 顶点之间只有 $0/1$ 条边 , 是 反对称 的 ;

传递 : 前提不成立 , 传递性 成立 ;

6. $R_6=\{<a,a>,<b,a>,<b,c>,<a,a>\}$ :

绘制上述关系的关系图 : 没有任何关系

自反/反自反 : 有的顶点有环 , 有的顶点没有环 , 自反和反自反都不成立 ;

对称/反对称 : 顶点之间都是 $1$ 或 $2$ 条有向边 , 顶点之间只有 $0/1$ 条边是反对称 , 顶点之间只有 $0/2$ 条边是对称 , 上述对称/反对称都不成立 ;

传递 : 前提 $a\to b,b\to c$ , 不存在对应的 $a\to c$ , 这里传递性不成立 ;

三、关系运算性质

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讨论问题 : 指定性质的关系 之间进行运算 , 其结果的性质 ; 如 自反的两个关系 进行逆序合成运算 , 结果扔是自反的 ;

下图中表格的含义是 : 如 第二列 “自反” 与 第三列 “$R_1\cup R_2$” , 交叉的表格位置 , 代表 关系 $R_1$ 与关系 $R_2$ 是自反的 , 其有序对交集是否是自反的 , 如果是 $1$ , 说明是自反的 , 如果没有值 , 说明不是自反的 ;

自反反自反对称反对称传递$R_1^{-1},R_2^{-1}$$1$$1$$1$$1$$1$$R_1\cup R_2^{-1}$$1$$1$$1$$R_1\cap R_2$$1$$1$$1$$1$$1$$R_1\circ R_2,R_2\circ R_1$$1$$R_1-R_2,R_2-R_1$$1$$1$$1$$\sim R_1,\sim R_2$$1$