泊松分布和指数分布

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

某医院平均每小时出生3个婴儿某公司平均每10分钟接到1个电话某超市平均每天销售4包xx牌奶粉某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。 上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。 接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。 泊松分布的图形大概是下面的样子。 可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

如何理解泊松分布？

1 甜在心馒头店

公司楼下有家馒头店： 每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？ 你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。

2 老板的思考

老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用T来表示： 把T均分为四个时间段： 此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出： 在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出） T内那么卖出3个馒头的概率，就和抛了4次硬币（4个时间段），其中3次正面（卖出3个）的概率一样了。

3 p的计算

“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率p怎么求？”

4 泊松分布

5 馒头店的问题的解决

老板依然蹙眉，不知道$\mu$啊？

没关系，刚才不是计算了样本均值：

$\overline{X}=5$

可以用它来近似：

$\overline{X}\approx \mu$

于是：

$P(X=k)=\frac{5^k}{k!}{e}^{-5}$

画出概率质量函数的曲线就是： 可以看到，如果每天准备8个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前8个的概率加起来： 这样93%的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。

老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”

6 总结

这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。

生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。

二、指数分布

指数分布是事件的时间间隔的概率。

下面这些都属于指数分布。

婴儿出生的时间间隔来电的时间间隔奶粉销售的时间间隔网站访问的时间间隔

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。 反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。 接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。 接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。 指数分布的图形大概是下面的样子。 可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

三、总结

一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

请注意是”独立事件”，泊松分布和指数分布的前提是，事件之间不能有关联，否则就不能运用上面的公式。

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