描述一个物体的位置或线运动，首先需要选择物体上的一点作为该物体的原点，该点可以是物体的质心、几何中心，或者是其上的任意一个合适的点。而要描述物体的方位和角运动，就必须要选择三个非共面的正交轴，常用的选择包括物体运动的方向、物体静止时的垂向、惯性传感器或其他航位推算传感器的敏感轴方向以及天线的视轴方向(其平面法线方向，一般也是灵敏度最大的方向)。实际上，物体的位置、方位、运动等参数对物体本身而言是无意义的，需要相对于某种形式的参考系来描述。参考系也是由一个原点和一组轴系来定义的。 物体或参考系的原点和轴系一起构成了坐标系 ，当轴系间相互垂直时，坐标系是正交的并且有6个自由度:原点的位置和z 、y 和z 三个轴的方向。六个自由度是相对已知坐标系而言的，可以用俯仰角，翻滚角，偏航角来进行定义。 一般均采用右手坐标系。任何导航问题至少包括两个坐标系:一个载体坐标系和一个参考坐标系。载体坐标系描述待定载体的位置和或方向，而参考坐标系描述己知物体，例如地球。任何两个坐标系之间都存在相对方位，这里称为姿态 。
地心惯性坐标系(ECI)是以地球质心为中心，以地球自转轴和恒星方向为坐标轴的坐标系，用符号i 表示。z 轴是地球的自转轴，从地心指向北极(非磁北) 0 x 轴和y 轴在赤道平面内， y 轴在地球旋转的方向上总是超前z 轴90 0 ，但它们不随地球旋转。一般定义X轴指向从地心指向地球赤道平面与地球-太阳轨道面(黄道)交点的方向即天球坐标系。
地心地固坐标系（ECEF）简称地球坐标系除了坐标轴与地球固联外，它与ECI 定义类似用符号e表示,ECEF 的Z 轴定义与ECI 坐标系相同，沿着地球自转轴从地心指向北极点(真极点，不是磁极点) ; x 轴从地心指向赤道与IERS 参考子午线(IERS reference meridian , IRM) ，又称协议零度子午线( conventional zero meridian , CZM) 的交点(协议零度子午线上，定义经度为00) ;由惯用的右手准则可知， y 轴从地心指向赤道与90°东经子午线的交点。
当地导航坐标系(local navigation frame) ，也称当地水平导航坐标、测地坐标系、地理坐标系，常用符号n(g ，l) 表示。其原点是由导航结果所描述的对象，可能是导航系统自身的一点、载体或用户的质 心等。 当地导航坐标系的原点和坐标轴如图所示。本书中定义当地导航坐标系为END坐标系。z 轴，又称为地向(D ， down) 轴，为参考椭球体的法线方向，大致指向地心。简单的重力模型假定重力矢量与当地导航坐标系的z 轴重合。实际上，由于局部重力异常的存在，真实的重力矢量与之稍有差异。x 轴或北向( N ， north) 轴，在垂直于z 轴的平面内，从用户指向北极的方向在垂直于z 轴的平面内，从用户指向北极的方向，由此得到的正交系的y 轴总是指向东方，因此又被称作东向(E ， east) 轴。(由于北向轴和东向轴在地球两极处的不确定性，当地导航坐标系的一个主要缺点是在地球两极存在奇异性。因此，使用这一坐标系的导航方程机械编排不适合在极区附近使用)
当地切平面坐标系(local tangent - plane frame) ，用符号l表示,其原点一般取地球表面一点，相对地球固定。与当地导航坐标系一样， z 轴指向垂向(上或下) ， x 轴和y 轴也指向地形方向(即北向和东向) ，因此也被称为当地测地坐标系或观测中心坐标系,与当地导航坐标系区别在于原点的不同
载体坐标系(body frame) ，又称为运动载体坐标系，由导航对象的原点和姿态确定。载体坐标系的原点与当地导航坐标系重合，但坐标轴却与载体固联，通常定义z 轴为前向(即正常航行的方向) ， z 轴为地向(即向下方向) ， y 轴为右向，并由三个坐标轴组成正交坐标系。对于角运动来说，载体坐标系的轴也被称为滚动、俯仰和偏航轴，其中z 轴方向为滚动轴， y 轴方向为俯仰轴，而z 轴方向为偏航轴，如图所示。右手螺旋法则确定其正方向。其对应的载体坐标系一般用符号b 表示。
游动方位坐标系( wander azimuth frame) ，用符号ω 表示 ,是当地导航坐标系的变形，其原点和z 轴与当地导航坐标系一致，而z 轴和y 轴从北向和东向转了一个角度ψ，即游动方位角，如图所示。该角度随着游动方位坐标系相对地球的移动而变化，且游动方位角是已知的。游动方位坐标系与当地导航坐标系间可直接转换。这一坐标系的使用避免了当地导航坐标系在地球两极的奇异问题，因此它被普遍用于惯性导航算法的机械编排 另一种当地导航坐标系的变形是地心坐标系(geocentric frame) ，两者之间的差异是地心坐标系的z 轴从原点指向地球的中心，而当地导航系的z 轴是椭球面的法线方向。z 轴的定义方法一致，是在与z 轴垂直的平面内指向北极的方向。
基本旋转公式： 注意：三个均为按照正方向旋转得到的公式，第二个sin不同是因为坐标轴是从Z到Y轴，与另外两个有区别，但推到原理是一致的。旋转具有不可交换性。
欧拉(Euler) 角是描述姿态最直观的方法。姿态被分解为三个连续的转动过程，每次旋转所围绕的轴与前后旋转所围绕的轴正交。欧拉角分为滚动角 ϕ n b \phi_{nb} ϕnb、俯仰角 θ n b \theta_{nb} θnb和偏航角 ψ n b \psi_{nb} ψnb，描述了目标坐标系α 相对于参考坐标系β 的方位 。 从投影坐标系卢到投影坐标系α的旋转，该转换过程可分为三步:
第一步为偏航旋转；第二步为俯仰旋转；最后为滚动旋转； 欧拉角按转动顺序的倒序排列。在使用时，三个旋转角的顺序不能改变，实现欧拉角的逆变换，原先的操作都必须反转，从滚动旋转开始，或者使用不同的变换。如果仅对欧拉角的符号取反，将无法得到原始的姿态。俯仰角范围是[-90° ,+90°]，当正处于边界时出现万向节锁，偏航角和翻滚角无法区分，可有转换矩阵理解坐标变换矩阵是一个3x3 的矩阵，用符号 C β α C_\beta^\alpha Cβα表示使用方式： x β = C β α x α x^\beta =C_\beta^\alpha x^\alpha xβ=Cβαxα 式中x的上标表示投影坐标轴;矩阵的下标表示源坐标系，上标表示目标坐标系;坐标转换矩阵的行对应目标坐标系，列对应源坐标系。当坐标转换矩阵用于表示姿态时，更一般的表示方法是:用上标(目标坐标系)表示参考坐标系β，用下标(源坐标系)表示载体坐标系α。 坐标转换矩阵各元素，可由两个坐标系的单位矢量点乘得到，分别等于各个相应轴夹角的余弦: 矩阵转置可以实现旋转变换或坐标变换的逆变换： C α β = ( C β α ) T C^\beta_\alpha ={(C_\beta^\alpha)}^T Cαβ=(Cβα)T 坐标转换也同样遵守链乘： C α γ = C β γ C α β C^\gamma_\alpha =C_\beta^\gamma C_\alpha^\beta Cαγ=CβγCαβ 坐标转换矩阵是正交矩阵 I = C β α C α β I=C_\beta^\alpha C_\alpha^\beta I=CβαCαβ 欧拉角与坐标转换矩阵存在以下关系 C α β C_\alpha^\beta Cαβ= 逆变换 当角度较小时： C α β ≈ I 3 + [ ψ α β Λ ] C_\alpha^\beta \approx I_3+[ \psi_{\alpha\beta} \Lambda] Cαβ≈I3+[ψαβΛ] [ ψ α β Λ ] [ \psi_{\alpha\beta} \Lambda] [ψαβΛ]是欧拉角的反对称矩阵 欧拉旋转定理：每一个三维空间旋转皆可表示为对于一固定轴的旋转坐标变换。矩阵有一个恒为1的特征值，另外两个为 e − ϕ i e^{-\phi i} e−ϕi， e + ϕ i e^{+\phi i} e+ϕi， ϕ \phi ϕ为等效旋转角度的大小。罗德里格旋转公式是坐标旋转矩阵的一个变型，根据这一变形即可以求出旋转轴和角度。由坐标旋转矩阵特征值1求出的特征向量即为罗德里旋转公式中u向量，u向量上旋转不发生变化 式中 e β α α / β e_{\beta\alpha}^{\alpha / \beta} eβαα/β为为坐标变换矩阵表征的旋转的转动轴单位矢量， μ β α \mu_{\beta\alpha} μβα为旋转的幅度
四元数( quatemion) 可以用来表示姿态但其中只有三个元素独立。 q = ( q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) q=(q_0,q_1,q_2,q_3) q=(q0,q1,q2,q3) 逆变换 四元数表示法比坐标变换矩阵的计算效率高，也避免了欧拉角中固有的奇异值问题。但四元数运算不直观，易增加出错的概率。四元数与坐标变换矩阵和欧拉角之间可以进行相互转换（P37）
旋转矢量是一个三元素的矢量，是旋转轴单位矢量和旋转幅度的简单组合(严恭敏的讲义中主要是使用的这种) ρ β α = μ β α e β α α / β \rho_{\beta\alpha}=\mu_{\beta\alpha}e_{\beta\alpha}^{\alpha / \beta} ρβα=μβαeβαα/β 逆变换： μ β α = ∣ ρ β α ∣ \mu_{\beta\alpha}=|\rho_{\beta\alpha}| μβα=∣ρβα∣ e β α α / β = ρ β α ∣ ρ β α ∣ e_{\beta\alpha}^{\alpha/\beta}=\frac {\rho_{\beta\alpha}}{|\rho_{\beta\alpha}|} eβαα/β=∣ρβα∣ρβα 旋转矢量可以转换为四元数欧拉角坐标转换矩阵。在几种姿态表示方法中，旋转矢量是唯一可以对旋转过程线性插值的方法。
位置、速度、加速度和角速度等大多数的运动学参量，均涉及三种坐标系: (1)载体坐标系 α; (2) 参考坐标系β； (3) 投影坐标系 γ 。 载体坐标系α 与参考坐标系β 不能相同，否则将不存在运动。投影坐标系可能是载体坐标系、参考坐标系，也可能是其他坐标系。只需定义投影坐标系的轴系方向，不需要定义其原点。另外投影坐标系的选择不影响矢量的幅度。 x β α γ x_{\beta\alpha}^{\gamma} xβαγ 矢量x 描述了坐标系α 相对于坐标系β 的运动学特性，在坐标系γ 中投影表示。在描述姿态时，只用到载体坐标系α 和参考坐标系β ，没有投影坐标系。
角速度矢量 ω β α γ \omega_{\beta\alpha}^{\gamma} ωβαγ ，表示α 坐标系相对于β 坐标系的转动角速度在γ 坐标系中的投影,角速度的方向满足右手定则。 符号表示角速度载体坐标系和参考坐标系之间正逆转换: ω β α γ = − ω α β γ \omega_{\beta\alpha}^{\gamma}=-\omega_{\alpha\beta}^{\gamma} ωβαγ=−ωαβγ 一个角速度的载体坐标系与另一个角速度的参考坐标系相同，同一投影轴系投影的角速度相加： ω β α γ = ω α δ γ + ω δ α γ \omega_{\beta\alpha}^{\gamma}=\omega_{\alpha\delta}^{\gamma}+\omega_{\delta\alpha}^{\gamma} ωβαγ=ωαδγ+ωδαγ 左乘对应的坐标变换矩阵就可以实现速度的投影轴系变换: ω β α δ = C γ δ ω β α γ \omega_{\beta\alpha}^{\delta}=C^\delta_{\gamma}\omega_{\beta\alpha}^{\gamma} ωβαδ=Cγδωβαγ 角速度的模与旋转轴无关，角加速度的模与投影坐标系的选择有关； 角速度的反对称矩阵及其坐标转换 Ω β α γ = [ ω β α γ Λ ] \Omega_{\beta\alpha}^{\gamma}=[\omega_{\beta\alpha}^{\gamma}\Lambda] Ωβαγ=[ωβαγΛ] Ω β α δ = C γ δ Ω β α γ C δ γ \Omega_{\beta\alpha}^{\delta}=C_{\gamma}^{\delta}\Omega_{\beta\alpha}^{\gamma}C^{\gamma}_{\delta} Ωβαδ=CγδΩβαγCδγ 坐标转换矩阵的导数为：
笛卡儿位置又称欧几里德位置， 与曲线位置的区别是:投影轴独立于位置矢量。 笛卡儿位置的载体坐标系与参考坐标系的转换 通过符号取反完成: r β α γ = − r α β γ r_{\beta\alpha}^{\gamma}=-r_{\alpha\beta}^{\gamma} rβαγ=−rαβγ 同样一个笛卡儿位置的载体坐标系与另一个的参考坐标系相同，那么这两个具有相同投影坐标系的笛卡儿位置可以相加 r α β γ = r α δ γ + r δ β γ r_{\alpha\beta}^{\gamma}=r_{\alpha\delta}^{\gamma}+r_{\delta\beta}^{\gamma} rαβγ=rαδγ+rδβγ 通过坐标转换矩阵可以实现笛卡儿位置在不同投影坐标系间的转换: r α β γ = C δ γ r α β δ r_{\alpha\beta}^{\gamma}=C^{\gamma}_{\delta}r_{\alpha\beta}^{\delta} rαβγ=Cδγrαβδ 笛卡儿位置的模与投影轴无关，模的时间导数取决于投影坐标系相对于参考坐标系和载体坐标系的旋转速率
速度( velocity) ，表示载体坐标系原点的位置相对于参考坐标系原点和坐标轴的变化率。α 坐标系相对于β 坐标系的速度在γ 坐标系中技影表示为 v β α γ = C β γ r ˙ β α β v_{\beta\alpha}^{\gamma}=C_{\beta}^{\gamma} {\dot{r}_{\beta\alpha}^{\beta}} vβαγ=Cβγr˙βαβ 载体坐标系α 相对于参考坐标系β 原点的移动，或者是参考坐标系β 相对于坐标系α 原点的移动或转动，都会引人速度。但载体坐标系本身的旋转，不会引人速度，投影坐标系γ 相对于参考坐标系β 的旋转，不会改变速度的大小。 由于投影坐标系γ 相对于参考坐标系β 存在转动 v β α γ v_{\beta\alpha}^\gamma vβαγ不等于笛卡儿位置 r β α γ r_{\beta\alpha}^\gamma rβαγ对时间的导数: 参考坐标系和载体坐标系之间存在角运动，那么它们不能通过符号取反实现互换。 但是可以只用坐标转换矩阵进行投影坐标系的转换。 v β α δ = C γ δ v β α γ v_{\beta\alpha}^\delta=C_\gamma^\delta v_{\beta\alpha}^\gamma vβαδ=Cγδvβαγ 同样有以下式子： v i e γ = v n b γ = 0 v_{ie}^\gamma= v_{nb}^\gamma=0 vieγ=vnbγ=0 v i b γ = v i n γ v_{ib}^\gamma= v_{in}^\gamma vibγ=vinγ v e b γ = v e n γ v_{eb}^\gamma= v_{en}^\gamma vebγ=venγ
加速度( acceleration) 定义为一个坐标系的原点位置相对于另一个坐标系原点和坐标轴的二次时间导数。 a β α γ = C β γ r ¨ β α β a_{\beta\alpha}^{\gamma}=C_\beta^{\gamma}\ddot r_{\beta\alpha}^\beta aβαγ=Cβγr¨βαβ 投影坐标系γ 相对于参考坐标系β 可能存在转动，加速度并不简单地等同于速度的时间导数，或者笛卡尔位置的二次时间导数: 式中前三项与离心力、哥氏力和欧拉虚力有关 同样有 a β α δ = C γ δ a β α γ a_{\beta\alpha}^\delta=C_\gamma^\delta a_{\beta\alpha}^\gamma aβαδ=Cγδaβαγ
对于相对于旋转坐标系静止的物体来说，可以假定一个力与向心力大小相等，方向相反使其静止，这个虚拟的力称为离心力。对于相对于旋转坐标系匀速向轴向运动的物体。对于相对于旋转坐标系具有径向匀速运动的物体，加速度为零除去离心力，还会受到一个与旋转方向相反的阻力，称为哥氏力。 式中:左侧为虚拟加速度，右侧第一项为离心加速度;第二项为哥氏加速度;最后一项为欧拉加速度。欧拉力是第三种虚拟力，是当参考坐标系相对于惯性空间存在角加速度时产生的力。（这里有待完善）
