/# 0. 概率       ~~~~~      在模式识别领域的⼀个关键概念是不确定性的概念。它可以由测量的误差引起，也可以由数据集的有限⼤⼩引起。概率论提供了⼀个合理的框架，⽤来对不确定性进⾏量化和计算。       ~~~~~      在概率图模型中，每个结点表⽰⼀个随机变量（或⼀组随机变量），链接表⽰这些变量之间的概率关系。

0.1 交叉熵

$$ce=-\int p(x)lnq(x)dx$$

0.2 相对熵(KL散度)

假设p(x) , q(x)是X中取值的angie概率分布,则p对q的相对熵是: $$\begin{gathered} D(p||q)=-\int p(x)lnq(x)dx-(-\int p(x)lnp(x)dx) \\ =\int p(x)ln\frac{p(x)}{q(x)}dx \end{gathered}$$

0.3 互信息

两个随机变量X,Y的互信息,定义为X,Y联合分布和独立分布乘积的相对熵. $$I(X,Y)=D(P(X,Y)||P(X)P(Y))$$

1. 概率公式

概率论两个最基本的规则:加和规则,乘积规则 sum rule

$$P(X)=\sum _{Y}P(X,Y)$$

product rule $$P(X,Y)=P(Y|X)P(X)$$条件概率公式

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$

全概率公式

$$P(A)=\sum _{i}P(A|B_i)P(B_i)$$

贝叶斯公式 $$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{i}P(A|B_i)P(B_i)}$$

2. 先验/后验/似然

在了解以前,有另一个角度解释贝叶斯公式: 详见: 一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计）

3. 朴素贝叶斯

3.1 模型

朴素贝叶斯第一步要求出一个联合分布概率P(X,Y)

$$\begin{gathered} P(Y_i|X)=\frac{P(Y_i,X)}{P(X)} \\ =\frac{P(X|Y_i)P(Y_i)}{{\sum }_{i}P(X|Y_i)P(Y_i)} \end{gathered}$$

由上式我们可以看到,我们可以将联合概率分解成两部分.先验分布 * 条件概率分布

我们看条件概率分布的形式: $$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)$$

假设$x^{(j)}$取值有$S_j$个,Y取值有K个,那么需要求的参数有$K{\prod }_{j=1}^n{S}_j$个

为了简化计算,提出了"朴素假设"(条件独立性假设): 一个特征出现的概率与其他特征独立

原贝叶斯公式: $$P(y|x_1,x_2,....x_n)=\frac{P(y)P(x_1,x_2,....x_n|y)}{P(x_1,x_2,....x_n)}$$

由假设简化: $$P(y)P(x_1,x_2,....x_n|y)=P(y)\prod _{i=1}^{n}P(x_i|y)$$

由于分子$P(x_1,x_2,....x_n)$和y无关,不再考虑,因此可得 $$P(y|x_1,x_2,....x_n)\propto P(y)\prod _{i=1}^{n}P(x_i|y)$$

得到朴素贝叶斯分类器(最大化后验概率) $$y=argma{x}_{c_k}P(Y=c_k)\prod _{j}P(X^j=x^j|Y=c_k)$$

注: <统计学习方法中>推导了由期望风险最小出发,导出最大后验概率的过程

3.2 策略(学习)

这里主要介绍如何估计贝叶斯分类器内的参数:$P(Y=c_k)$ 和 $P(X^j=x^j|Y=c_k)$

3.2.1 最大似然估计

书上针对的是离散情况的讨论,直接根据频率统计得出概率等以后遇到连续情况时再展开

3.2.2 贝叶斯估计

极大似然估计会出现概率为0的情况(比方说,某词未出现,统计频率为0,导致概率为0)采用贝叶斯估计(其中条件概率的贝叶斯估计为)

$$P_{\lambda }(X^j=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^j=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k+S_j\lambda )}$$

$\lambda$为正数,其实就是稍微修正了一下,避免出现零情况

4. 实例

感兴趣可以看一下一个朴素贝叶斯的简单例子:3. 垃圾邮件分类

参考

1. 一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计） 2. 朴素贝叶斯分类器 详细解析 3. 从贝叶斯方法谈到贝叶斯网络