从这一讲开始，我们正式进入 linear algebra 的第二部分。之前在第一部分，我们关注的是怎么解方程 A m × n x n × 1 = b m × 1 \bm{A}_{m\times n}\bm{x}_{n\times 1}=\bm{b}_{m\times 1} Am×nxn×1=bm×1，并围绕这个问题定义了一套矩阵方法来求解。
在第二部分，我们将focus on the square matrix 方阵。
作为开始，我们希望能用一个实数在某种程度上衡量一个方阵的性质。这个实数就是矩阵的行列式 determinant，记作 det ( A ) = ∣ A ∣ \text{det}(\bm{A})=|\bm{A}| det(A)=∣A∣
Prof. Strang 首先并没有介绍 determinant 的定义，因为定义稍微有点不人性化，instead，我们从 determinant 的性质入手。以下是行列式的十个性质，前三个是基础。
单位阵的行列式是 1 1 1； ∣ I ∣ = 1 |\bm{I}|=1 ∣I∣=1
互换矩阵两行，行列式异号； ∣ A ∣ = − ∣ A ′ ∣ |A|=-|A'| ∣A∣=−∣A′∣
矩阵其他行不变的情况下，对某一行进行线性操作后得到的矩阵的行列式是之前矩阵行列式的线性组合。 ∣ a 1 a 2 c a 3 c a 4 ∣ = c ∣ a 1 a 2 a 3 a 4 ∣ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ ca_3 & ca_4 \\ \end{vmatrix}= c\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣a1ca3a2ca4∣∣∣∣=c∣∣∣∣a1a3a2a4∣∣∣∣
∣ a 1 a 2 a 3 + c 3 a 4 + c 4 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 a 4 ∣ + ∣ a 1 a 2 c 3 c 4 ∣ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 + c_3 & a_4 + c_4 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ c_3 & c_4 \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣a1a3+c3a2a4+c4∣∣∣∣=∣∣∣∣a1a3a2a4∣∣∣∣+∣∣∣∣a1c3a2c4∣∣∣∣
千万注意 ∣ c A ∣ = c n ∣ A ∣ |c\bm{A}|=c^n |\bm{A}| ∣cA∣=cn∣A∣
∣ a 1 + c 1 a 2 + c 2 a 3 + c 3 a 4 + c 4 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 a 4 ∣ + ∣ c 1 c 2 a 3 a 4 ∣ + ∣ a 1 a 2 c 3 c 4 ∣ + ∣ c 1 c 2 c 3 c 4 ∣ \begin{vmatrix} a_1 + c_1 & a_2 + c_2 \\ a_3 + c_3 & a_4 + c_4 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ c_3 & c_4 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ c_3 & c_4 \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣a1+c1a3+c3a2+c2a4+c4∣∣∣∣=∣∣∣∣a1a3a2a4∣∣∣∣+∣∣∣∣c1a3c2a4∣∣∣∣+∣∣∣∣a1c3a2c4∣∣∣∣+∣∣∣∣c1c3c2c4∣∣∣∣
如果矩阵有两个相同的行， det ( A ) = 0 \text{det}(\bm{A}) = 0 det(A)=0. 这个很好理解，互换行 det ( A ) = − det ( A ) \text{det}(\bm{A})=-\text{det}(\bm{A}) det(A)=−det(A).
矩阵的某一行乘以 c c c 加到另一行不改变行列式的值。
如果有一行全零，行列式为 0.
上三角矩阵的行列式为对角元素的乘积。 从之前的性质都可以推出。
矩阵的行列式为0，说明它是singular matrix (不可逆)；行列式非零，可逆。 把矩阵做初等行变换，如果有 n n n 个pivots说明可逆，此时行列式是这些pivots的乘积。另一方面如果不可逆，对角线上肯定有0， 行列式也是0.
矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积 det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) \text{det}(\bm{AB})=\text{det}(\bm{A})\text{det}(\bm{B}) det(AB)=det(A)det(B) 推论：
det ( A 2 ) = det ( A ) 2 \text{det}(\bm{A}^{2})=\text{det}(\bm{A})^2 det(A2)=det(A)2
det ( A − 1 ) = 1 det ( A ) \text{det}(\bm{A}^{-1})=\frac{1}{\text{det}(\bm{A})} det(A−1)=det(A)1
矩阵转置不改变行列式的值。 ∣ A ∣ = ∣ A ⊤ ∣ |\bm{A}|=|\bm{A}^\top| ∣A∣=∣A⊤∣ LU分解会给出原因since ∣ L ∣ ∣ U ∣ = ∣ U ⊤ ∣ ∣ L ⊤ ∣ |\bm{L}|~|\bm{U}|=|\bm{U}^\top|~|\bm{L}^\top| ∣L∣ ∣U∣=∣U⊤∣ ∣L⊤∣ 所以之前所有对行定义的性质，对列也是一致的。好，下一节我们正式定义矩阵的行列式。
