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问题描述题解1-记忆化搜索（递归）思想：AC代码 题解2-动态规划（递推）

问题描述

试题 历届试题 地宫取宝 问题描述 　　X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。 输入格式 　　输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值 输出格式 　　要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。 样例输入

2 2 2 1 2 2 1

样例输出

2

样例输入

2 3 2 1 2 3 2 1 5

样例输出

14

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题解1-记忆化搜索（递归）

思想：

首先我做这题的时候看到有入口出口还有走法限制的“迷宫”时首先就想到dfs。问题是我从入口到出口的路径搜索很简单dfs(x,y)这样两个表示位置的参数我就能找到每一种状态。但是我不是找到路径就行，还得拿东西，并且拿东西的先后大小满足上升子序列，我们求能用nlogn的时间在一个长为n的数组找到它最长上升子序列的长度，但是他不是求最长，因为只要是一个长度大于等于K的上升序列就能通过组合数C(k,len)求出该路径上，第k个数取到该位置的方案数。 所以dfs+搜索每一条路径的最长上升子序列的长度+组合数，求出答案的方法不可行。

依据上面，我就想是不是可以边搜索边枚举每一个位置上的物品拿与不拿？如果直接暴力搜当然是不行的。 那么怎么减少重复的搜索状态呢？我们就必须把每一个状态保存下来（就是动态规划的思想），如果当前状态已经搜索过就直接返回上次记录的结果（记忆化搜索）。

保存搜索结果的数组，因为每个状态有位置（x,y），当前已取个数s，最大价值maxx，4个信息才能记录一个状态，故使用一个4为数组：dp[x][y][s][maxx] 表示在（x,y）位置，取s个物品，且最大价值为maxx的方案数。

状态转移： dp[i][j][s][maxx]= 1.取当前物品,且满足当a[i][j]>max才能取 dp[i+1][j][s+1][a[i][j]] + dp[i][j+1][s+1][a[i][j]] 2.不取当前物品 dp[i+1][j][s][maxx] + dp[i][j+1][s][maxx]

AC代码

代码里有详细注释，应该不难理解。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long int ll const mod=1000000007; int a[55][55]; int next[2][2]={{0,1},{1,0}}; int book[55][55];//dfs int n,m,k; ll dp[55][55][13][13];//记录搜索结果 ll dfs(int x,int y,int s,int maxx) { if(dp[x][y][s][maxx+1]!=-1)//因为maxx可能为-1 { return dp[x][y][s][maxx+1]; }//记忆化搜索 if(x==n&&y==m) { if((s==k)||(s==k-1&&maxx<a[x][y]))//到[n][y]时，k个去满了和差一个时把[x][y]取了 return dp[x][y][s][maxx+1]=1ll; return dp[x][y][s][maxx+1]=0ll; } ll res=0ll; //dfs for(int i=0;i<2;i++){ int nx=x+next[i][0]; int ny=y+next[i][1]; if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue; //if(book[nx][ny]) continue;//dp就相当于标记，故无需标记 //1.不取a[nx][ny] res+=dfs(nx,ny,s,maxx); //2.取a[nx][ny] if(a[x][y]>maxx&&s<k) res+=dfs(nx,ny,s+1,a[x][y]);//注意不是a[nx][ny] ，因为当前搜索的位置（x，y）还没考虑 } //记录搜索结果 dp[x][y][s][maxx+1]=res%mod; return dp[x][y][s][maxx+1]; }//后面向前返回搜索结果 int main(void) { memset(dp,-1,sizeof(dp));//dp初始化为-1 scanf("%d %d %d",&n,&m,&k); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]); //0<=maxx<=12 dfs(1,1,0,-1);//dp[i][j][k][max]; printf("%lld\n",dp[1][1][0][0]); return 0; }

题解2-动态规划（递推）

其实记忆化搜索和动态规划就是一个东西来的，都是保存搜索状态。前者是减少重复搜索，后者是用空间换取时间。 详细题解请移步： https://www.acwing.com/solution/acwing/content/7116/