好，这一讲我们开始正式定义矩阵的行列式。首先，我们复习一下上一讲中行列式的三个基本性质。
单位阵的行列式是 1 1 1； ∣ I ∣ = 1 |\bm{I}|=1 ∣I∣=1
互换矩阵两行，行列式异号； ∣ A ∣ = − ∣ A ′ ∣ |A|=-|A'| ∣A∣=−∣A′∣
矩阵其他行不变的情况下，对某一行进行线性操作后得到的矩阵的行列式是之前矩阵行列式的线性组合。 ∣ a 1 a 2 c a 3 c a 4 ∣ = c ∣ a 1 a 2 a 3 a 4 ∣ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ ca_3 & ca_4 \\ \end{vmatrix}= c\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣a1ca3a2ca4∣∣∣∣=c∣∣∣∣a1a3a2a4∣∣∣∣
∣ a 1 a 2 a 3 + c 3 a 4 + c 4 ∣ = ∣ a 1 a 2 a 3 a 4 ∣ + ∣ a 1 a 2 c 3 c 4 ∣ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 + c_3 & a_4 + c_4 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ c_3 & c_4 \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣a1a3+c3a2a4+c4∣∣∣∣=∣∣∣∣a1a3a2a4∣∣∣∣+∣∣∣∣a1c3a2c4∣∣∣∣
我们来看一下二阶矩阵的行列式怎么求 ∣ a b c d ∣ = ∣ a 0 c d ∣ + ∣ 0 b c d ∣ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=∣∣∣∣ac0d∣∣∣∣+∣∣∣∣0cbd∣∣∣∣
= ∣ a 0 c 0 ∣ + ∣ a 0 0 d ∣ + ∣ 0 b c 0 ∣ + ∣ 0 b 0 d ∣ =\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0 \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d \\ \end{vmatrix} =∣∣∣∣ac00∣∣∣∣+∣∣∣∣a00d∣∣∣∣+∣∣∣∣0cb0∣∣∣∣+∣∣∣∣00bd∣∣∣∣
从求解过程中可以看出，我们把一个二 (n) 阶矩阵的行列式展开成了 4 ( n n n^n nn) 个矩阵行列式的和。但是其中凡是有一行或者一列为全零的，就可以直接剔除掉了，最终生存下来的是
= ∣ a 0 0 d ∣ + ∣ 0 b c 0 ∣ =\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \\ \end{vmatrix} =∣∣∣∣a00d∣∣∣∣+∣∣∣∣0cb0∣∣∣∣
这两项。他们有什么特点尼？每行或者每列有且仅有一个非零项。最终，原矩阵的行列式便是这生存下来的矩阵行列式的和。
再举一个三阶矩阵的例子， ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ∣ + ∣ a 11 0 0 0 0 a 23 0 a 32 0 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣a11000a22000a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a110000a320a230∣∣∣∣∣∣
+ ∣ 0 a 12 0 a 21 0 0 0 0 a 33 ∣ + ∣ 0 a 12 0 0 0 a 23 a 31 0 0 ∣ +\begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 &0 \\ \end{vmatrix} +∣∣∣∣∣∣0a210a120000a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣00a31a12000a230∣∣∣∣∣∣
+ ∣ 0 0 a 13 a 21 0 0 0 a 32 0 ∣ + ∣ 0 0 a 13 0 a 22 0 a 31 0 0 ∣ ( 1 ) +\begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}~~~~(1) +∣∣∣∣∣∣0a21000a32a1300∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣00a310a220a1300∣∣∣∣∣∣ (1)
仍然可以看出，最终每个留下来的矩阵在原矩阵的基础上每一行每一列都只选了一个entry。好，接下来我们再解决两个问题
分解之后留下来的矩阵有多少个尼？答案是 n ! n\,! n!每个留下来的矩阵的行列式的值是多少尼？其实经过若干次 row exchanges，我们总能把留下来的每个矩阵变成对角阵。这样一来，每个矩阵的行列式的绝对值便是其中 n n n 个元素的乘积，符号与row exchange次数有关系，exchange 偶数次则 符号为 ‘+’， 奇数次则符号为 ‘-’。好，现在我们终于可以给出行列式的公式了 det ( A ) = ∑ ( i 1 , i 2 , . . . , i n ) ( − 1 ) τ a 1 i 1 a 2 i 2 . . . a n i n \text{det}(\bm{A})=\sum_{(i_1,i_2,...,i_n)}(-1)^{\tau}a_{1i_1}a_{2i_2} ...\, a_{ni_n} det(A)=(i1,i2,...,in)∑(−1)τa1i1a2i2...anin
其中 ( i 1 , i 2 , . . . , i n ) (i_1,i_2,...,i_n) (i1,i2,...,in) 是 ( 1 , 2 , . . . , n ) (1,2,...,n) (1,2,...,n) 的permutation，总共有 n ! n\,! n! 项; τ \tau τ 是 ( i 1 , i 2 , . . . , i n ) (i_1,i_2,...,i_n) (i1,i2,...,in) 的逆序数。
但是其实这只是一个定义而已，真的要算行列式没几个人带这个公式的，都是对矩阵做一些初等行变换（按照性质改变行列式的值）得到某些形式的矩阵后再运算。下面，我们来介绍一下什么样的矩阵行列式比较好算。
还是从三阶矩阵开始谈起, 看上面的 (1) 式，可以发现， ∣ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ∣ + ∣ a 11 0 0 0 0 a 23 0 a 32 0 ∣ = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \\ \end{vmatrix}=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})=a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣a11000a22000a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a110000a320a230∣∣∣∣∣∣=a11(a22a33−a23a32)=a11∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣
∣ 0 a 12 0 a 21 0 0 0 0 a 33 ∣ + ∣ 0 a 12 0 0 0 a 23 a 31 0 0 ∣ = − a 12 ( a 21 a 33 − a 31 a 23 ) = − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ \begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 &0 \\ \end{vmatrix}=-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})=-a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣0a210a120000a33∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣00a31a12000a230∣∣∣∣∣∣=−a12(a21a33−a31a23)=−a12∣∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣∣
∣ 0 0 a 13 a 21 0 0 0 a 32 0 ∣ + ∣ 0 0 a 13 0 a 22 0 a 31 0 0 ∣ = a 13 ( a 21 a 32 − a 31 a 22 ) = a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}=a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})=a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣0a21000a32a1300∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣00a310a220a1300∣∣∣∣∣∣=a13(a21a32−a31a22)=a13∣∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣∣
所以实际上，我们有 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}=a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}-a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix}+a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣=a11∣∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣∣−a12∣∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣∣+a13∣∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣∣
这一步我们称为 把行列式按第一行展开，选取第一行的三个entry和他们代数余子式（二阶）加在一起，记作 det ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 ( 2 ) \text{det}(\bm{A})=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}~~~(2) det(A)=a11C11+a12C12+a13C13 (2)
其中 C 11 C_{11} C11 就称为代数余子式 (cofactor), 如果我们只看行列式不看符号那就是 余子式 (minor)。余子式前的符号取决于其对应的 a i j a_{ij} aij 的 index ( i + j ) (i+j) (i+j) 的奇偶性.
Eq. (2) 的精髓是，把一个高阶行列式降维为低阶行列式的和。下面我们用三对角矩阵的行列式来解释如何运用这个性质来求高阶矩阵的行列式。
求 det ( T 5 ) = ∣ 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ∣ \text{det}(T_5) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} det(T5)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1100011100011100011100011∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
解：
初等行变换 det ( T 5 ) = ∣ 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ∣ \text{det}(T_5) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} det(T5)=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1000010100011100011100011∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
按第二行展开 det ( T 5 ) = ( − 1 ) 2 + 3 ∣ 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 ∣ = 0 \text{det}(T_5) = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 det(T5)=(−1)2+3∣∣∣∣∣∣∣∣1000110001110011∣∣∣∣∣∣∣∣=0
