作者：Ernnnn

b站：Ernnnn

公众号：统计分析分析

两总体 t 检验与差分估计量的比较

文章目录

*两总体 t 检验与差分估计量的比较*1. t检验2.差分估计量3. Stata 验证

1. t检验

两总体的t检验，可以分为独立样本和配对样本的两大分类。

独立样本

方差已知

方差未知但相等

方差未知且不相等

配对样本

比如在小样本下，如果方差未知但相等： $$t=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{\sqrt{Se}}$$

$$Se=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})$$ 如果是大样本(使用样本方差估计方差）或已知方差时，直接使用z统计量： $$z=\frac{{\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}$$ 这些不同统计量之间相同和不同的地方在哪呢？所有这些t检验的上面部分都是一样的${\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2$,主要区别在于标准误不一样！

2.差分估计量

对于y而言，仅存在一个虚拟变量下有： $$y_i=\{\begin{array}{llc}\alpha +{ϵ}_i,& & x_i=0\\ \alpha +\beta +{ϵ}_i,& & x_i=1\end{array}$$ 又根据回归方程必中点可以知道，${\overline{y}}_0=\hat{\alpha }$和${\overline{y}}_1=\hat{\alpha }+\hat{\beta }$ 那么显然我们的$\hat{\beta }={\overline{y}}_0-{\overline{y}}_1$ ，这个是啥，很显然就是我们的两总体的均值之差。 那么究竟差分估计量的标准误应该和哪个t检验的是一样的呢？请翻上去思考一下。 没错，大样本下的两总体均值之差的t统计量。 因此系数的$\beta$显著性和t检验得到p值是一样的。

结论：根据t检验的原理，当我们使用样本小于36的差分估计量是不准确的，得到的结论是偏显著的（大家可以思考一下为什么？）。同时注意的是，这里的样本是指单个分组的样本量，因此作为回归至少应该70+的样本量才能使得统计量近似服从正态分布，其结论才是准确的。

3. Stata 验证

import excel "ttt.xlsx",clear firstrow list +----------------+ | id y group | |----------------| 1. | 1 1 0 | 2. | 2 2 0 | 3. | 3 3 0 | 4. | 4 3 0 | 5. | 5 4 0 | |----------------| 6. | 6 1 1 | 7. | 7 1 1 | 8. | 8 2 1 | 9. | 9 1 1 | +----------------+ ttest y ,by(group) 结果如下： Two-sample t test with equal variances ------------------------------------------------------------------------------ Group | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- 0 | 5 2.6 .509902 1.140175 1.184285 4.015715 1 | 4 1.25 .25 .5 .4543884 2.045612 ---------+-------------------------------------------------------------------- combined | 9 2 .372678 1.118034 1.140603 2.859397 ---------+-------------------------------------------------------------------- diff | 1.35 .6184658 -.1124393 2.812439 ------------------------------------------------------------------------------ diff = mean(0) - mean(1) t = 2.1828 Ho: diff = 0 degrees of freedom = 7 Ha: diff < 0 Ha: diff != 0 Ha: diff > 0 Pr(T < t) = 0.9673 Pr(|T| > |t|) = 0.0654 Pr(T > t) = 0.0327

而同样的数据使用回归可以得到同样的结果

reg y group Source | SS df MS Number of obs = 9 -------------+---------------------------------- F(1, 7) = 4.76 Model | 4.05 1 4.05 Prob > F = 0.0654 Residual | 5.95 7 .85 R-squared = 0.4050 -------------+---------------------------------- Adj R-squared = 0.3200 Total | 10 8 1.25 Root MSE = .92195 ------------------------------------------------------------------------------ y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- group | -1.35 .6184658 -2.18 0.065 -2.812439 .1124393 _cons | 2.6 .4123106 6.31 0.000 1.62504 3.57496 ------------------------------------------------------------------------------

事实上除了符号不一样，其他是基本一样的。