福哥答案2020-10-05：#福大大架构师每日一题#
简单回答： y*y=x mod p，已知x，p并且互质，求y。 1.判断是否存在模平方根。 1.1.欧拉判别法。有代码。 x**[(p-1)/2]%p==1。 1.2.高斯二次互反律。无代码。 2.Tonelli–Shanks算法。有代码。
代码用python编写，代码如下：
# -*-coding:utf-8-*- def quick_power(a, b, p): """ 求快速幂。ret = a^b%p。 Args: a: 底数。大于等于0并且是整数。 b: 指数。大于等于0并且是整数。 p: 模数。大于0并且是整数。 Returns: 返回结果。 Raises: IOError: 无错误。 """ a = a % p ans = 1 while b != 0: if b & 1: ans = (ans * a) % p b >>= 1 a = (a * a) % p return ans def is_have_sqrt_model(x, p): """ 是否有模平方根y*y=x mod p，已知x，p，判断是否存在y Args: x: 大于0并且小于p的整数。 p: 质数。 Returns: 返回结果，true表示有模平方根；false表示没有模平方根。 Raises: IOError: 无错误。 """ ret = quick_power(x, (p - 1) // 2, p) if ret == 1: return True else: return False def get_sqrt_model(x, p): """ 求模平方根y*y=x mod p，已知x，p求y Args: x: 大于0并且小于p的整数。 p: 质数。 Returns: 返回结果y。 Raises: IOError: 无错误。 """ if is_have_sqrt_model(x, p): t = 0 # p-1=(2^t)*s //s是奇数 s = p - 1 while s % 2 == 0: s = s // 2 t = t + 1 if t == 1: ret = quick_power(x, (s + 1) // 2, p) return ret, p - ret elif t >= 2: x_ = quick_power(x, p - 2, p) n = 1 while is_have_sqrt_model(n, p): n = n + 1 b = quick_power(n, s, p) ret = quick_power(x, (s + 1) // 2, p) t_ = 0 while t - 1 > 0: if quick_power(x_ * ret * ret, 2 ** (t - 2), p) == 1: pass else: ret = ret * (b ** (2 ** t_)) % p t = t - 1 t_ = t_ + 1 return ret, p - ret else: return -2, -2 else: return -1, -1 if __name__ == "__main__": print(is_have_sqrt_model(55, 103)) print(get_sqrt_model(55, 103)) print("---------------") print(is_have_sqrt_model(186, 401)) print(get_sqrt_model(186, 401))执行结果如下：
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