图

基本概念顶点和边有向图和无向图完全图邻接顶点顶点的度路径路径长度简单路径与回路子图连通图强连通图生成树 图的存储结构邻接矩阵优缺点实现 邻接表无向图邻接表存储有向图邻接表存储实现 图的遍历深度优先遍历广度优先遍历

基本概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中： 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合； E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。

顶点和边

图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图

在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边。

在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边。 注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

完全图

在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图 。

邻接顶点

在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度

顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。 注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径

在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径 。

路径长度

对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；

对于带权的图，一条路 径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路

若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路 径。

若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图

设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图 。

连通图

在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一 对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图

在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到 vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树

一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n- 1条边 。

图的存储结构

在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。

邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。

注意: 如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替。

优缺点

用邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。

实现

//V代表顶点，W代表权值，Direction代表有向图或者无向图（false无向图） template<class V, class W, bool Direction = false> class Graph { public: Graph(V* vertexs, int n) { _vertexs.reserve(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { _vertexs.push_back(vertexs[i]); //构建顶点的映射 _vertexIndexMap[vertexs[i]] = i; } _matrix.resize(n); for (size_t i = 0; i < n; ++i) { _matrix[i].resize(n, W()); //W（）初始化，int初始化成0，string初始化成空串 } } //获得顶点的下标 int GetVertexIndex(const V& v) { auto it = _vertexIndexMap.find(v); if (it != _vertexIndexMap.end()) { return it->second; } else { return -1; } } //增加边 void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { int srcIndex = GetVertexIndex(src); int dstIndex = GetVertexIndex(dst); _matrix[srcIndex][dstIndex] = w; //如果是无向图 if (Direction == false) _matrix[dstIndex][srcIndex] = w; } private: vector<V> _vertexs; // 顶点集合 map<V, int> _vertexIndexMap; //映射（顶点，下标） vector<vector<W>> _matrix; // 表示邻接矩阵的边 };

邻接表

使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

无向图邻接表存储

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集合中结点的数目即可。

有向图邻接表存储

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i 。

实现

template<class W> struct EdgeNode { int _srcIndex; int _dstIndex; const W& _w; EdgeNode<W>* next; }; template<class V, class W, bool Direction = false>//顶点，权值，是否是有向图 class Graph { public: Graph(V* vertexs, int n) { vertexs.reserve(n); for (int i = 0; i < n; i++) { _vertexs.push_back(vertexs[i]); _vertexMap[vertexs[i]] = i; } _linkTable.resize(n, nullptr); } //获得顶点下标 int GetValue(const V& x) { auto it = _vertexMap.find(x); if (it != _vertexMap.end()) { return it->second; } else { return -1; } } //添加边得关系 void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w) { int srcIndex = GetValue(src); int dstIndex = GetValue(dst); EdgeNode* node = new EdgeNode; node->_srcIndex = srcIndex; node->_dstIndex = dstIndex; node->_w = w; //头插到链表中 node->next = _linkTable[srcIndex]; _linkTable[srcIndex] = node; //如果是无向图 if (Direction == false) { EdgeNode* node = new EdgeNode; node->_srcIndex = dstIndex; node->_dstIndex = srcIndex; node->_w = w; //头插到链表中 node->next = _linkTable[dstIndex]; _linkTable[dstIndex] = node; } } private: vector<V> _vertexs; //顶点集合 vector<EdgeNode<W>*> _linkTable; //邻接表 map<V, int> _vertexMap; //顶点的映射，即顶点的下标 }; }

图的遍历

给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。

深度优先遍历

//广度优先遍历 void BFS(const V& src) { vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); int srcIndex = GetVertexIndex(src); queue<int> q; q.push(srcIndex); while (!q.empty()) { int front = q.front(); q.pop(); cout << _vertexs[front] << ":" << front << "->"; visited[front] = true; // 他的好友入队列 for (int i = 0; i < _vertexs.size(); ++i) { //把那一行的不为0的，并且没有入过队的元素都入队 if (_matrix[front][i] != W() && visited[i] == false) { q.push(i); visited[i] = true; } } } cout << endl; }

广度优先遍历

void _DFS(int srcIndex, vector<bool>& visited) { cout << _vertexs[srcIndex] << ":" << srcIndex << "->"; visited[srcIndex] = true; for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++) { if (_matrix[srcIndex][i] != W() && visited[i] == false) { _DFS(i, visited); } } } //深度优先遍历 void DFS(const V& src) { vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); int srcIndex = GetVertexIndex(src); _DFS(srcIndex, visited); cout << endl; }