日常水博客，网上这类资料不少，写一个也确实没有必要，但是既然我今天要水博客那就还是写一个，我默认这里读者是非数学专业但是学过高数的同学，因此可能里面一些说法或者观点在数学系同学看来会比较幼稚，如果诸位有什么比较好的建议，还望不吝赐教
我们先进行一些比较不怎么正式的描述，目的是利于理解。对于一个给定的函数 f ( x ) f(x) f(x)，定义 J f ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t Jf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt Jf(x)=∫0xf(t)dt这里就先看作找出 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数，一些资料比如wiki上把 J J J叫做积分算子，姑且看作给 f ( x ) f(x) f(x)来个积分，那么，我们有下面结论：
J 2 f ( x ) = ∫ 0 x ( x − t ) f ( t ) d t J^2f(x)=\int_0^x(x-t)f(t)dt J2f(x)=∫0x(x−t)f(t)dt 证明显然，应该一般数分或者高数习题都会有，但是为了凑字数我还是给加上 J 2 f ( x ) = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( k ) d k ) d t = t ∫ 0 t f ( k ) d k ∣ 0 x − ∫ 0 x t d ∫ 0 t f ( k ) d k = x ∫ 0 x f ( t ) d t − ∫ 0 x t f ( t ) d t J^2 f(x)=\int_0^x(\int_0^tf(k)dk)dt\\=t\int_0^tf(k)dk|_0^x-\int_0^xtd\int_0^tf(k)dk\\=x\int_0^xf(t)dt-\int_0^xtf(t)dt J2f(x)=∫0x(∫0tf(k)dk)dt=t∫0tf(k)dk∣0x−∫0xtd∫0tf(k)dk=x∫0xf(t)dt−∫0xtf(t)dt 我们可以归纳证明 J n f ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t J^nf(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{n-1}f(t)dt Jnf(x)=(n−1)!1∫0x(x−t)n−1f(t)dt 显然 d 1 n ! ∫ 0 x ( x − t ) n f ( t ) d t d x = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) ( n − 1 ) f ( t ) d t = J n f ( x ) \frac{d\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^nf(t)dt}{dx}=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{(n-1)}f(t)dt\\=J^{n}f(x) dxdn!1∫0x(x−t)nf(t)dt=(n−1)!1∫0x(x−t)(n−1)f(t)dt=Jnf(x) 于是 J n + 1 f ( x ) ∫ 0 x J n f ( t ) d t = ∫ 0 x d ( 1 n ! ∫ 0 t ( x − k ) n f ( k ) d k ) = 1 n ! ∫ 0 x ( x − t ) n f ( t ) d t J^{n+1}f(x)\int_0^xJ^nf(t)dt=\int_0^xd(\frac{1}{n!}\int_0^t(x-k)^nf(k)dk)\\=\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^nf(t)dt Jn+1f(x)∫0xJnf(t)dt=∫0xd(n!1∫0t(x−k)nf(k)dk)=n!1∫0x(x−t)nf(t)dt 我们换个写法 J n f ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t = 1 Γ ( n ) ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t J^nf(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x(x-t)^{n-1}f(t)dt\\=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^x(x-t)^{n-1}f(t)dt Jnf(x)=(n−1)!1∫0x(x−t)n−1f(t)dt=Γ(n)1∫0x(x−t)n−1f(t)dt 其中 Γ ( x ) \Gamma(x) Γ(x)是伽玛函数，应该数分教材都有，但是考虑到面对的是非数学专业的同学，我再写一下 Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t \Gamma(s)=\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt Γ(s)=∫0∞ts−1e−tdt我们来证明一个基本递推公式 Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) Γ ( s + 1 ) = ∫ 0 ∞ t s e − t d t = − ∫ 0 ∞ t s d e − t = t s e − t ∣ 0 ∞ + s ∫ 0 ∞ e − t t s − 1 d t = s Γ ( s ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\\\Gamma(s+1)=\int_0^{\infty}t^{s}e^{-t}dt=-\int_0^{\infty}t^{s}de^{-t}\\=t^se^{-t}|_0^{\infty}+s\int_0^{\infty}e^{-t}t^{s-1}dt=s\Gamma(s) Γ(s+1)=sΓ(s)Γ(s+1)=∫0∞tse−tdt=−∫0∞tsde−t=tse−t∣0∞+s∫0∞e−tts−1dt=sΓ(s) 显然 Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = 1 \Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-t}dt=1 Γ(1)=∫0∞e−tdt=1这我们就证明了上面那个式子的合理性，我们给出定义 J α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t J^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x(x-t)^{\alpha-1}f(t)dt Jαf(x)=Γ(α)1∫0x(x−t)α−1f(t)dt 下面说明它满足 J α J β f ( x ) = J α + β f ( x ) J^{\alpha}J^{\beta}f(x)=J^{\alpha+\beta}f(x) JαJβf(x)=Jα+βf(x) J α J β f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 J β f ( t ) d t = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) ∫ 0 x ∫ 0 t ( x − t ) α − 1 ( t − s ) β − 1 f ( s ) d s d t = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) ∫ 0 t f ( s ) ( ∫ s x ( x − t ) α − 1 ( t − s ) β − 1 d t ) d s J^{\alpha}J^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x(x-t)^{\alpha-1}J^{\beta}f(t)dt\\=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^x\int_0^t(x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}f(s)dsdt\\=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^tf(s)(\int_s^x(x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}dt)ds JαJβf(x)=Γ(α)1∫0x(x−t)α−1Jβf(t)dt=Γ(α)Γ(β)1∫0x∫0t(x−t)α−1(t−s)β−1f(s)dsdt=Γ(α)Γ(β)1∫0tf(s)(∫sx(x−t)α−1(t−s)β−1dt)ds 最后一步二重积分交换顺序，可以画一下图。现在令 t = s + ( x − s ) r t = s + (x − s)r t=s+(x−s)r J α J β f ( x ) = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) ∫ 0 t f ( s ) ( ∫ s x ( x − t ) α − 1 ( t − s ) β − 1 d t ) d s = 1 Γ ( α ) Γ ( β ) ∫ 0 x ( x − s ) α + β − 1 f ( s ) ( ∫ 0 1 ( 1 − r ) α − 1 r β − 1 d r ) d s J^{\alpha}J^{\beta}f(x)\\=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^tf(s)(\int_s^x(x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}dt)ds\\=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^x(x-s)^{\alpha+\beta-1}f(s)(\int_0^1(1-r)^{\alpha-1}r^{\beta-1}dr)ds JαJβf(x)=Γ(α)Γ(β)1∫0tf(s)(∫sx(x−t)α−1(t−s)β−1dt)ds=Γ(α)Γ(β)1∫0x(x−s)α+β−1f(s)(∫01(1−r)α−1rβ−1dr)ds 对于 ∫ 0 1 ( 1 − r ) α − 1 r β − 1 d r \int_0^1(1-r)^{\alpha-1}r^{\beta-1}dr ∫01(1−r)α−1rβ−1dr 我们得介绍一下 β \beta β函数，同样的，我还是再写一遍 B ( p , q ) = ∫ 0 1 ( 1 − r ) p − 1 r 1 − q d r B(p,q)=\int_0^1(1-r)^{p-1}r^{1-q}dr B(p,q)=∫01(1−r)p−1r1−qdr 做一下变形， x = cos φ x=\cos\varphi x=cosφ B ( p , q ) = 2 ∫ 0 π 2 cos 2 p − 1 φ sin 2 q − 1 φ d φ B(p,q)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\varphi\sin^{2q-1}\varphi d\varphi B(p,q)=2∫02πcos2p−1φsin2q−1φdφ 而 β \beta β函数和 Γ \Gamma Γ函数又有一个比较好的关系 B ( p , q ) = Γ ( p ) Γ ( q ) Γ ( p + q ) B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} B(p,q)=Γ(p+q)Γ(p)Γ(q) 证明: Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t \Gamma(s)=\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt Γ(s)=∫0∞ts−1e−tdt进行换元 t = k 2 t=k^2 t=k2,于是就有下面这个形式 Γ ( s ) = 2 ∫ 0 ∞ t 2 s − 1 e − t 2 d t \Gamma(s)=2\int_0^{\infty}t^{2s-1}e^{-t^2}dt Γ(s)=2∫0∞t2s−1e−t2dt 所以 Γ ( p ) Γ ( q ) = 4 ∫ 0 ∞ t 2 p − 1 e − t 2 d t ∫ 0 ∞ s 2 q − 1 e − s 2 d s = 4 ∬ D t 2 p − 1 e − t 2 s 2 q − 1 e − s 2 d s d t \Gamma(p)\Gamma(q)=4\int_0^{\infty}t^{2p-1}e^{-t^2}dt\int_0^{\infty}s^{2q-1}e^{-s^2}ds\\= 4\iint \limits_{D}t^{2p-1}e^{-t^2}s^{2q-1}e^{-s^2}dsdt Γ(p)Γ(q)=4∫0∞t2p−1e−t2dt∫0∞s2q−1e−s2ds=4D∬t2p−1e−t2s2q−1e−s2dsdt 做变换 s = r cos θ , t = r sin θ s=r\cos\theta,t=r\sin\theta s=rcosθ,t=rsinθ Γ ( p ) Γ ( q ) = 4 ∬ 0 ≤ r < + ∞ , 0 ≤ θ < π 2 r 2 ( p + q ) − 1 e − r 2 cos 2 p − 1 θ sin 2 q − 1 θ d r d θ = ( 2 ∫ 0 π 2 cos 2 p − 1 θ sin 2 q − 1 θ d θ ) ( 2 ∫ 0 ∞ r 2 ( p + q ) − 1 e − r 2 d r ) = B ( p , q ) Γ ( p + q ) \Gamma(p)\Gamma(q)=4\iint\limits_{0\le r<+\infty,0\le\theta<\frac{\pi}{2}} r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta drd\theta\\=(2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta)(2\int_0^{\infty} r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}dr)\\=B(p,q)\Gamma(p+q) Γ(p)Γ(q)=40≤r<+∞,0≤θ<2π∬r2(p+q)−1e−r2cos2p−1θsin2q−1θdrdθ=(2∫02πcos2p−1θsin2q−1θdθ)(2∫0∞r2(p+q)−1e−r2dr)=B(p,q)Γ(p+q) 我们现在知道了这个就可以进行处理了 ∫ 0 1 ( 1 − r ) α − 1 r β − 1 d r = B ( α , β ) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) \int_0^1(1-r)^{\alpha-1}r^{\beta-1}dr=B(\alpha,\beta)\\=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} ∫01(1−r)α−1rβ−1dr=B(α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β) 带入，于是 J α J β f ( x ) = 1 Γ ( α + β ) ∫ 0 x ( x − s ) α + β − 1 f ( s ) d s = J α + β f ( x ) J^{\alpha}J^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha+\beta)}\int_0^x(x-s)^{\alpha+\beta-1}f(s)ds=J^{\alpha+\beta}f(x) JαJβf(x)=Γ(α+β)1∫0x(x−s)α+β−1f(s)ds=Jα+βf(x) 下面我们就可以进行操作了，举一个栗子，对于某个函数求 0.5 0.5 0.5阶导数，一个十分自然的想法就是先 J 0.5 J^{0.5} J0.5，然后再导一次，这里要注意一个事
对于 J α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t J^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x(x-t)^{\alpha-1}f(t)dt Jαf(x)=Γ(α)1∫0x(x−t)α−1f(t)dt一个大胆的想法就是把 α \alpha α取个负数，这就万事大吉了，但是需要注意的是 Γ \Gamma Γ函数在0和负整数没有定义，因此这样怕是不太行，但是事实上我们知道这些就可以算了，最后我我们再做一下比较系统的描述
Riemann–Liouville fractional integral I α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ a x f ( t ) ( x − t ) α − 1 d t I^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}dt Iαf(x)=Γ(α)1∫axf(t)(x−t)α−1dt a a a是积分的初始点 Riemann–Liouville fractional derivative D α f ( x ) = d n d x n I n − α f ( x ) ( n = [ α ] + 1 ) D^\alpha f(x)=\frac{d^n}{dx^n}I^{n-\alpha}f(x)(n=[\alpha]+1) Dαf(x)=dxndnIn−αf(x)(n=[α]+1) 自然，分数阶微积分还又其他定义，但是我这里仅仅介绍的是Riemann–Liouville 定义，算是水个博客活跃度2333
如果上面有任何笔误甚至错误还请诸位大佬不吝赐教
