高数第七章节——微分方程概念&一阶微分方程&高阶微分方程
0、博主高数相关章节目录1、数列1、微分方程的基本概念1.1微分方程的定义1.2 解微分方程1.3 基本概念
2、一阶微分方程2.1 微分方程的解2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程2.3.1 可分离变量的微分方程的定义
ϕ
(
y
)
d
y
=
ψ
(
x
)
d
x
\phi(y)dy=\psi(x)dx
ϕ(y)dy=ψ(x)dx2.3.2 求通解的步骤2.3.3 例题——两端积分求通解
2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程2.4.1 线性齐次方程
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
0
\frac{dy}{dx}+P(x)y=0
dxdy+P(x)y=02.4.2 线性非齐次方程
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
dxdy+P(x)y=Q(x)2.4.2.1 待定系数2.4.2.2 一阶线性方程解的结构2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程
2.4.3 伯努利方程
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
∗
y
n
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^n
dxdy+P(x)y=Q(x)∗yn2.4.3.1 伯努利方程的推导2.4.3.2 伯努利方程的通解
3、高阶微分方程3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程3.1.1
y
(
n
)
=
f
(
x
)
y^{(n)}=f(x)
y(n)=f(x)型的方程3.1.2
y
′
′
=
f
(
x
,
y
′
)
y''=f(x,y')
y′′=f(x,y′)型的方程（不含未知数
y
y
y，含自变量
x
x
x）3.1.2.1 定义3.1.2.2 例题——
y
′
′
=
f
(
x
,
y
′
)
y''=f(x,y')
y′′=f(x,y′)型求原方程
3.1.3 不含有
y
、
y
′
、
.
.
.
、
y
(
k
−
1
)
y、y'、...、y^{(k-1)}
y、y′、...、y(k−1)3.1.3.1 例题——
y
、
y
′
、
.
.
.
、
y
(
k
−
1
)
y、y'、...、y^{(k-1)}
y、y′、...、y(k−1)型例题
3.1.4
y
′
′
=
f
(
y
,
y
′
)
y''=f(y,y')
y′′=f(y,y′)型的方程（含未知数
y
y
y，缺自变量
x
x
x）3.1.4.1 例题——
y
′
′
=
f
(
y
,
y
′
)
y''=f(y,y')
y′′=f(y,y′)型例题
3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程3.2.1 二阶线性微分方程3.2.2 二阶齐次方程的结构3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构
3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解3.3.2.1 两个不相等实根(
Δ
>
0
\Delta>0
Δ>0)3.3.2.2 两个相等实根(
Δ
=
0
\Delta=0
Δ=0)3.3.2.3 一对共轭复根(
Δ
<
0
\Delta<0
Δ<0)3.3.3.4 公式总结
3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解
3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程3.4.1
f
(
x
)
=
e
λ
x
P
m
(
x
)
f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)
f(x)=eλxPm(x)型3.4.1.1 定义3.4.1.2 例题
3.4.2
f
(
x
)
=
e
λ
x
[
P
l
(
x
)
c
o
s
ω
x
+
P
n
(
x
)
s
i
n
ω
]
f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x) sin\omega]
f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]型3.4.2.1 求解公式3.4.2.2 例题3.4.2.3 生活中的应用
0、博主高数相关章节目录
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1、数列
1、微分方程的基本概念
1.1微分方程的定义
1.2 解微分方程
解微分方程是求导的逆运算
1.3 基本概念
2、一阶微分方程
2.1 微分方程的解
2.2 微分方程的通解不一定包括所有的解
2.3 微分方程解法一——可分离变量的微分方程
2.3.1 可分离变量的微分方程的定义
ϕ
(
y
)
d
y
=
ψ
(
x
)
d
x
\phi(y)dy=\psi(x)dx
ϕ(y)dy=ψ(x)dx
2.3.2 求通解的步骤
2.3.3 例题——两端积分求通解
2.4 微分方程解法二——一阶线性微分方程
2.4.1 线性齐次方程
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
0
\frac{dy}{dx}+P(x)y=0
dxdy+P(x)y=0
2.4.2 线性非齐次方程
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
dxdy+P(x)y=Q(x)
2.4.2.1 待定系数
2.4.2.2 一阶线性方程解的结构
2.4.2.3 例题——一阶非齐次线性微分方程
2.4.3 伯努利方程
d
y
d
x
+
P
(
x
)
y
=
Q
(
x
)
∗
y
n
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)*y^n
dxdy+P(x)y=Q(x)∗yn
2.4.3.1 伯努利方程的推导
2.4.3.2 伯努利方程的通解
3、高阶微分方程
3.1 微分方程解法三——可降阶的高阶微分方程
3.1.1
y
(
n
)
=
f
(
x
)
y^{(n)}=f(x)
y(n)=f(x)型的方程
3.1.2
y
′
′
=
f
(
x
,
y
′
)
y''=f(x,y')
y′′=f(x,y′)型的方程（不含未知数
y
y
y，含自变量
x
x
x）
3.1.2.1 定义
3.1.2.2 例题——
y
′
′
=
f
(
x
,
y
′
)
y''=f(x,y')
y′′=f(x,y′)型求原方程
3.1.3 不含有
y
、
y
′
、
.
.
.
、
y
(
k
−
1
)
y、y'、...、y^{(k-1)}
y、y′、...、y(k−1)
3.1.3.1 例题——
y
、
y
′
、
.
.
.
、
y
(
k
−
1
)
y、y'、...、y^{(k-1)}
y、y′、...、y(k−1)型例题
3.1.4
y
′
′
=
f
(
y
,
y
′
)
y''=f(y,y')
y′′=f(y,y′)型的方程（含未知数
y
y
y，缺自变量
x
x
x）
3.1.4.1 例题——
y
′
′
=
f
(
y
,
y
′
)
y''=f(y,y')
y′′=f(y,y′)型例题
3.2 微分方程解法四——高阶线性微分方程
3.2.1 二阶线性微分方程
d
2
y
d
x
2
+
P
(
x
)
d
y
d
x
+
Q
(
x
)
y
=
f
(
x
)
\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)
dx2d2y+P(x)dxdy+Q(x)y=f(x)
3.2.2 二阶齐次方程的结构
3.2.3 二阶非齐次线性方程的解的结构
3.3 微分方程解法五——常系数齐次线性微分方程
3.3.1 常系数齐次线性微分方程定义
3.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解
3.3.2.1 两个不相等实根(
Δ
>
0
\Delta>0
Δ>0)
3.3.2.2 两个相等实根(
Δ
=
0
\Delta=0
Δ=0)
3.3.2.3 一对共轭复根(
Δ
<
0
\Delta<0
Δ<0)
3.3.3.4 公式总结
3.3.4 n阶常系数齐次线性微分方程的解
3.4 微分方程解法六——二阶常系数非齐次线性微分方程
3.4.1
f
(
x
)
=
e
λ
x
P
m
(
x
)
f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)
f(x)=eλxPm(x)型
3.4.1.1 定义
3.4.1.2 例题
3.4.2
f
(
x
)
=
e
λ
x
[
P
l
(
x
)
c
o
s
ω
x
+
P
n
(
x
)
s
i
n
ω
]
f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)cos\omega x+P_n(x) sin\omega]
f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinω]型
3.4.2.1 求解公式
3.4.2.2 例题
3.4.2.3 生活中的应用
解决振动和共振一类用正余弦描述的物理问题
