非负矩阵之Perron-Frobenius定理

1. 矩阵论记号约定

2. 非负矩阵之Perron-Frobenius定理

1907 年 O. Perron 发现正矩阵的谱有特别有趣的性质。G. Frobenius 在 1908-1912 年间将 Perron 的工作推广到不可约非负矩阵的情形，并得到了新的进一步结果。

Oskar Perron 在1907年发表了关于正矩阵的一些基本发现称之为Perron定理，后来Frobenius将其推广到非负矩阵上，称为Perron-Frobenius定理。

2.1 H.Wielandt 的证明

Perron-Frobenius 理论有很多证明方式，下面介绍 H.Wielandt 的优美证明。

下面先证明一些预备定理，然后着手证明Perron-Frobenius定理，然后基于Perron-Frobenius定理，利用分析学的方法将其推广到一般非负矩阵 Perron-Frobenius定理指出： 带有正数条目的任何方形矩阵$A$都有一个唯一的特征向量 正数（最多乘以正标量），和 相应的特征值具有多重性且严格 大于任何其他特征值的绝对值。

2.1.1 矩阵可约

矩阵不可约等价于强连通 如果马氏链常返（注意有限闭类是常返类），概率转移矩阵的不可约性质保证了不变测度在忽略常数倍意义下存在且唯一[Norris. Markov Chains. Theorem 1.7.5.+1.7.6.]。

关于不可约矩阵有以下结论：

2.1.2 非负矩阵的特征值/特征向量

非负矩阵的谱半径（下面有定义）是它的一个特征值，并且这个特征值对应着非负特征向量。

2.1.3 非负矩阵的Collatz-Wielandt公式

2.1.4 正矩阵和非负矩阵的Perron根与特征向量

2.1.5 不可约矩阵和本原矩阵的Perron-Frobenius定理

定理虽然很长但是整个过程十分优美，思路十分清晰，仔细分析每一步还是很容易看懂的，并且在证明的过程中就能体会为什么一开始要提出“非负不可约矩阵”的概念了，然后应用连续性把一些结果推广到非负矩阵。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/75236945 https://zhuanlan.zhihu.com/p/80952693 https://dna049.com/perronFrobeniusTheory/#引理-1-设-A-是不可约非负矩阵，-y-in-mathbf-R-n-backslash-lbrace-0-rbrace-且至少有一个分量为-0-则-I-A-y-的正分量的个数大于-y-的正分量个数 https://blog.csdn.net/u010510549/article/details/101145389 参考书籍：Horn R A , Johnson C R . Matrix Analysis[M]// false. 人民邮电出版社, 1985.