线性变换的矩阵表示——线性变换对角化和其矩阵对角化的关系

可对角化的线性变换的提出背景

可对角化的线性变换的定义

定理1：线性变换可对角化等价于其在某一组基下的矩阵可对角化

线性变换$\underline{A}$可对角化 $⟺$ 存在一组基，使得线性变换$\underline{A}$在这组基下的矩阵为对角阵

线性变换$\underline{A}$在各个基下的矩阵构成$A$的等价类，所以： 存在一组基，使得线性变换$\underline{A}$在这组基下的矩阵为对角阵 $⟺$ $A$的等价类中存在对角阵，即$A$可对角化

定理2：如果线性变换可对角化，即在某组基下的矩阵是对角阵，则这组基是线性变换的一组特征值，主对角元上的元素为基中对应位置的向量对应的特征值

证明：