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闭区间连续函数的性质1.有界性定理2.最值定理3.零点存在定理4.介值定理5.一致连续定理(Cantor定理)

闭区间连续函数的性质

闭区间上的连续函数具有许多特殊的性质，在开区间上不一定具有。

1.有界性定理

命题：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在$[a,b]$上有界。

证明：用反证法。

如果$f(x)$在$[a,b]$上无界，则将$[a,b]$等分为两个小区间$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$，函数$f(x)$至少在其中一个小区间上无界，记作$[a_1,b_1]$；继续等分，函数依然至少在一个半区间上无界，记作$[a_2,b_2]$；依此进行，得到一个闭区间套$\{[a_n,b_n]\}$，这样就存在一个唯一的实数$\xi$属于所有区间$[a_n,b_n]$，且 $$\xi =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n.$$ 由于$f(\xi )$在$[a,b]$上连续，$f(x)$在$\xi$处连续，即$f(\xi )=\underset{x\to \xi }{\lim }f(x)$存在，所以存在一个$\delta$，使得$f(x)$在$U^{\circ }(\xi ,\delta )$有界（这是函数极限的有界性），结合函数的连续性，对于一切$x\in U(\xi ,\delta )\cap [a,b]$存在 $$|f(x)|\le M.$$ 由于闭区间套的长度趋近于0，所以一定存在一个$N$，使得$n>N$时，$b_n-a_n<\delta /2$，这就意味着 $$[a_n,b_n]\subset U(\xi ,\delta ),$$ 然而$f(x)$在$[a_n,b_n]$上无界，在$U(\xi ,\delta )$上有界，这显然是矛盾的。

综上所述，闭区间上的连续函数有界。

开区间上连续函数无界的例子：$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$上无界。

2.最值定理

命题：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在$[a,b]$上必能取到最大值和最小值，即存在$\xi ,\eta \in [a,b]$，对于一切$x\in [a,b]$，有$f(\xi )\le f(x)\le f(\eta )$。

证明：可以先找比最值稍弱的值——确界，再通过确界向最值逼近。

由有界性定理得$f(x)$在$[a,b]$上有界，所以$f(x)$的值域$R_f$存在下确界$\alpha =\inf R_f$和上确界$\beta =\sup R_f$。要证明存在$\xi \in [a,b]$使得$f(\xi )=\alpha$。

根据下确界的定义，一方面$f(x)\ge \alpha$，另一方面$\forall ϵ>0,\exists x,f(x)<\alpha +ϵ$，于是取$\{{ϵ}_n\}$趋近于$0$，不妨设${ϵ}_n=\frac{1}{n}$，由此得到数列$\{x_n\}$，其中$\alpha \le f(x_n)<\alpha +\frac{1}{n}$。

由于$\{x_n\}$是一个有界数列，所以存在收敛子列$\{x_{n_k}\}$，由于$\{x_n\}$的构造方式，有 $$\alpha \le f(x_{n_k})<\alpha +\frac{1}{n_k}<\alpha +\frac{1}{k}.$$ 两边同时关于$k$取极限，有$f(x_{n_k})\to \alpha$。不妨设$x_{n_k}\to x^{\prime }$，那么由函数的连续性，有 $$f(x^{\prime })=f(\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k})=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k})=\alpha ,$$ 这就证明了$\exists x^{\prime },f(x^{\prime })=\alpha =\inf R_f$，证明了$f(x)$在$[a,b]$上取得到最小值。

同理构造收敛子列，可以证明$f(x)$在$[a,b]$上取得到最大值。

3.零点存在定理

命题：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则一定存在$\xi \in (a,b)$使得$f(\xi )=0$。

证明：要证明存在这样的$\xi$，关键是将其构造出来。

不失一般性，设$f(a)<0,f(b)>0$，可以定义集合$V=\{x|f(x)<0,x\in [a,b]\}$，显然集合$V$有界非空（至少含有点$a$），所以必有上确界，设为$\xi =\sup V$，现在想要证明$\xi \in (a,b),f(\xi )=0$。

先证明$\xi \in (a,b)$，由于$f(a)<0$，所以存在一个${\delta }_1$使得$\forall x\in [a,a+{\delta }_1]$，$f(x)<0$；由于$f(b)>0$，所以存在一个${\delta }_2$使得$\forall x\in [b-{\delta }_2,b]$，$f(x)>0$，这样就有$a+{\delta }_1\le \xi \le b-{\delta }_1$，所以$\xi \in (a,b)$。

取$x_n\in V,x_n\to \xi$，因为$f(x_n)<0$，所以$f(\xi )=f(\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)\le 0$，下证明$f(\xi )<0$是不可能存在的。

若$f(\xi )<0$，则根据$f(x)$在$\xi$的连续性，存在一个$\delta$，使得$[\xi -\delta ,\xi +\delta ]$内的$x$满足$f(x)<0$，这就与$\xi$是$V$的上确界矛盾（因为$\xi +\delta >\xi$且$f(\xi +\delta )<0$），所以必定有$f(\xi )=0$。

4.介值定理

命题：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它一定能取到最大值$M=\max \{f(x)|x\in [a,b]\}$和最小值$m=\min \{f(x)|x\in [a,b]\}$之间的任何一个值。

证明：建立介值定理与零点存在定理的联系。

由最值定理，存在$\xi ,\eta \in [a,b]$使得$f(\xi )=m,f(\eta )=M$，不妨假设$\xi <\eta$。

对于任意中间值$C$即$m<C<M$，考察辅助函数 $$g(x)=f(x)-C,$$ 显然$g(x)$在$[a,b]$上也是连续函数，且$g(\xi )=m-C<0,g(\eta )=M-C>0$，由零点存在定理，必定有$\zeta \in (\xi ,\eta )$，使得 $$g(\zeta )=0=f(\zeta )-C,f(\zeta )=C.$$ 这就证明了介值定理。同时，介值定理表明了$f(x)$在$[a,b]$上的值域为$R_f=[m,M]$。

5.一致连续定理(Cantor定理)

一致连续性：设$f(x)$定义在区间$X$上，$\forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon )>0$，只要$|x_1-x_2|<\delta (x_1,x_2\in X)$，就有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，就称$f(x)$在区间$X$上一致连续。

一致连续的充要条件：$f(x)$在$X$上一致连续，等价于对任何点列$\{x_n^{\prime }\},\{x_n^{\prime \prime }\}(x_n^{\prime },x_n^{\prime \prime }\in X)$，有 $$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime })=0\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }(f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime }))=0.$$ 命题(Cantor)：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在$[a,b]$上一致连续。

证明：采用反证法。

如果$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的，则存在${\epsilon }_0>0$与点列$\{x_n^{\prime }\},\{x_n^{\prime \prime }\}$满足 $$|x_n^{\prime }-x_n^{\prime \prime }|<\frac{1}{n},|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{\prime \prime })|\ge {\epsilon }_0.$$ 由致密性定理，存在收敛的子列$\{x_{n_k}^{\prime }\}$使得$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}^{\prime }=\xi ,\xi \in [a,b]$，在点列$\{x_n^{\prime \prime }\}$中选取同样下标的点列$\{x_{n_k}^{\prime \prime }\}$，则$|x_n^{\prime }-x_{n_k}^{\prime \prime }|<\frac{1}{n_k}$，且$|f(x_{n_k}^{\prime })-f(x_{n_k}^{\prime \prime })|\ge {\epsilon }_0$，且 $$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}^{\prime \prime }=\underset{k\to \infty }{\lim }(x_{n_k}^{\prime \prime }-x_{n_k}^{\prime })+\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_{n_k}^{\prime }=\xi .$$ 由于函数$f(x)$在$\xi$连续，所以 $$\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k}^{\prime })=\underset{k\to \infty }{\lim }f(x_{n_k}^{\prime \prime })=f(\xi ).$$ 于是 $$\underset{k\to \infty }{\lim }[f(x_{n_k}^{\prime })-f(x_{n_k}^{\prime \prime })]=0,$$ 这与$f(x_{n_k}^{\prime })-f(x_{n_k}^{\prime \prime })\ge {\epsilon }_0$矛盾，因此一定是一致连续的。

该定理在开区间上不成立，是因为$\xi$可能取到区间的边界。