算法训练 最大最小公倍数已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

问题描述

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。 输入格式

输入一个正整数N。 输出格式 输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。 样例输入 9 样例输出 504 数据规模与约定

1 <= N <= 10^6。

思路

本来想的草率了，只想着在1-N之间组合3个数，依次算出来每个组合的最大最小公倍数，但是发现不行…这样复杂度太高了，根本运行不出来…但是题目中给的较小数字的例子是可以运行出来的~~

代码是这样的（错误示范）：

#include <stdio.h> long long f(int a,int b,int c) { int i; int area = 1; for(i=2;i<=a;i++) { if(a%i==0 && b%i==0 && c%i==0) { a/=i; b/=i; c/=i; } else if(a%i==0 && b%i==0) { a/=i; b/=i; } else if(a%i==0 && c%i==0) { a/=i; c/=i; } else if(b%i==0 && c%i==0) { b/=i; c/=i; } else continue; } return a*b*c; } int main () { int n; long long max=1; scanf("%d",&n); int i,j,k,l; for(i=n;i>=1;i--) { for(j=i-1;j>=1;j--) { for(k=j-1;k>=1;k--) { if(f(i,j,k)>max) max=f(i,j,k); } } } printf("%lld",max); return 0; }

经过研究博客里大佬的思路，总结这道题的解法如下：

在一组数中找三个数，使他们的最小公倍数最大，我们知道，两个数的最小公倍数在最大的情况就是当两个数互质的时候，他们的最小公倍数就是这两个数的乘积，而且还有那么一个定理，即两个相邻的自然数互质，即使我们不知道定理怎么证明，但大体能想出来，但这是三个数，也就是说存在 奇-偶-奇 和 偶-奇-偶 两种情况。

一： 奇-偶-奇 这种情况用于n是奇数的情况，即 最大的三个数就是 n，n-1，n-2，那么可以看到，因为n和n-2都是奇数，所以肯定不存在公因数2，假设三个数中有一个存在因数3，那么另外两个肯定不存在因数3，因为他们的变化范围都小于3，也就是说，这三个数不仅是最大的，还是互质的，也就是说最大的最小公倍数就是这三个数的乘积，即n*（n-1）*（n-2）相信大部分人都可以想到这一步

二： 偶-奇-偶 对于这种情况两个偶数肯定是存在公因数2，也就是意味着最小公倍数要除以2，这是绝对不能容忍的，所以我们稍微缩小一下数，即n，n-1，n-3，这样就又变成奇-偶-奇的结构了，但还有一个问题，就是假如偶数n存在因数3，那么n-3也必定有因数3，这直接导致最小公倍数除以3，更加不能容忍，为了保持奇-偶-奇的结构不变，只能变那个偶数，而离他最近的偶数就是n-2了，这下就完美了，3个数依然是互质的，最小公倍数就是（n-1）（n-2）（n-3）

代码~：

#include <stdio.h> int main() { long long n,ans; scanf("%lld",&n); if(n%2==1) ans=n*(n-1)*(n-2); else { if(n%3==0) ans=(n-1)*(n-2)*(n-3); else ans=n*(n-1)*(n-3); } printf("%lld",ans); return 0; }