三大变换

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换

1. 傅里叶变换

2. 拉普拉斯变换

$$F(s)=L[f(t)]={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$ $s=\sigma +j\omega$ 复变量 将实数域上的实变函数变成复数域上的复变函数

一.经典函数的拉式变换

单位阶跃函数（1函数） $$1(t)=\{\begin{array}{cc}1,& t<0\\ 0,& t\ge 0\end{array}$$ $$L[1(t)]={\int }_0^{\infty }1(t)e^{-st}dt=\frac{1}{s}$$

单位脉冲函数 $$\delta (t)=\{\begin{array}{cc}\infty ,& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}$$ 单位脉冲函数满足 1）${\int }_0^{\infty }\delta (t)dt=1$ 2）$L[\delta (t)]={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-st}dt=1$ 根据2）可得 $$L[1(t)]={\int }_0^{\infty }\delta (t)e^{-st}dt=1$$

单位斜坡函数 $$f(t)=\{\begin{array}{cc}0& t<0\\ t& t\ge 0\end{array}$$ $$L[f(t)]=\frac{1}{s^2}$$

指数函数 $$f(t)=A{e}^{-at},t\ge 0$$ $$L[f(t)]=\frac{A}{s+a}$$

正余弦函数 (推到需要欧拉公式和指数函数变换) $$L[\sin \omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$ $$L[\cos \omega t]=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

二.拉氏变换定理

若$L[f(t)]=F(s)$ 则:

线性定理 $$L[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)$$位移定理 $$L[e^{-at}f(t)]=F(s+a)$$微分定理 $$L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$$积分定理 $$L[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{\int f(0)dt}{s}$$终值定理 (要求极限存在) $$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$初值定理 $$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$$卷积定理 $$L[{\int }_0^{\infty }{f}_1(t-\tau )\cdot f_2(\tau )d\tau ]=F_1(s)\cdot F_2(s)$$

二.拉氏反变换

$$L^{-1}[F(s)]=f(t)$$ 部分分式展开法： $$F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{A(s)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots (s+p_n)}$$ $p_1,p_2,\cdots ,p_n为B(s)的根，又称F(s)的极点$

无重根 $$F(s)=\frac{A(s)}{(s+p_1)(s+p_2)\cdots (s+p_n)}=\frac{{\alpha }_1}{s+p_1}+\frac{{\alpha }_2}{s+p_2}+\cdots +\frac{{\alpha }_n}{s+p_n}$$ ${\alpha }_k为s=-p_k处的留数$ ${\alpha }_k求解办法：等式两边\times (s+p_k),再带入s=-p_k即$ $${\alpha }_k={\left[(s+p_k)\frac{A(s)}{B(s)}\right]}_{s=-p_k}$$有重根 $$F(s)=\frac{A(s)}{(s+p_1{)}^3(s+p_2)\cdots (s+p_n)}=\frac{{\alpha }_1}{(s+p_1{)}^3}+\frac{{\alpha }_1}{(s+p_1{)}^2}+\frac{{\alpha }_1}{(s+p_1{)}^1}+\frac{{\alpha }_1}{s+p_2}+\cdots +\frac{{\alpha }_n}{s+p_n}$$

3. Z变换

$$f(t)=\{\begin{array}{}\end{array}$$