深入理解计算机系统——信息的表示和处理

寻址和字节顺序

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 在几乎所有的机器上，多字节对象被存储为连续的字节序列，对象的地址为所使用字节中最小的地址。比如，类型为 $int$ 的变量 $x$ 的地址为 $0x100$，即在 $C$ 中地址表达式 $\&x$ 的值为 $0x100$，那么 $x$ 的4个字节将会被存储在内存的 $0x100、0x101、0x102、0x103$ 位置。

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 那么具体怎么存放呢？有两种方式：

大端法：最高有效字节在最前面。小端法：最低有效字节在最前面。

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 还是以刚刚的例子说明，$x$ 的 $16$ 进制值是 $0x01234567$，地址范围 $0x100$ ~ $0x103$ 的字节顺序按照大端和小端法如下排列：

​​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 采用大端还是小端要看机器的类型，大多数是只用小端模式，也有新的微处理器采用双端法。

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 对于我们来说，机器使用的字节顺序我们是无法见到的，但是字节顺序对于使用者来说确实很重要的。比如说，一台大端机器和一台小端机器进行网络通信，接收程序中会发现字里的字节是反序的。为了避免这样的问题，接受方就需要做出一些转换。

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$C$ 库中的文件 $<limits.h>$ 定义了一组常量：$INT\_MAX、INT\_MIN、UINT\_MAX$ 确定宽度类型的带格式打印需要使用宏，以与系统相关的方式扩展为格式串。比如：变量 $x$ 和 $y$ 的类型是 $int32\_t$ 和 $int34\_t$ ，可以通过调用 $printf$ 来打印它们的值，如下所示

printf("x = %" PRId32 ", y = %" PRId64 "\n", x, y);

编译为 $64$ 位程序时，宏 $PRId32$ 展开成字符串 “$d$”，宏 $PRId64$ 展开成两个字符串 “$l$” “$u$”。当 $C$ 预处理器遇到仅用空格(或其他空白字符)分隔的一个字符串常量序列时，就把他们串联起来。因此上面的 $printf$ 调用就变成了：

printf("x = %d, y = %lu\n", x, y);

使用宏能保证：不论代码是如何被编译的，都能生成正确的格式字符串。 注： $PRId32$ 和 $PRId64$ 在 $C$ 中需要使用头文件 $<inttypes.h>$

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C语言中的有符号数和无符号数

$(int)2147483648U\to -2147483648[int]$

2147483648U 的补码是：1000 0000, 0000 0000, 0000 0000, 0000 0000

$-2147483647-1U$

-2147483647 的补码是：1000 0000, 0000 0000, 0000 0000, 0000 0001 和1U运算先变成无符号数，对应十进制2147483649U 所以最终运算得到：2147483648U，补码：1000 0000, 0000 0000, 0000 0000, 0000 0000

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C编译器怎么确定数值常量的类型

对于不同版本的c标准，相关规定的具体内容有所差异，对于c90，相关规定如下表所示：

范围类型0~2${}^{31}$-1int2${}^{31}$~2${}^{32}$-1unsigned int2${}^{32}$~2${}^{63}$-1long long2${}^{63}$~2${}^{64}$-1unsigned long long

而对于c99，相关标准有了些变化：

范围类型0~2${}^{31}$-1int2${}^{31}$~2${}^{63}$-1long long2${}^{63}$~2${}^{64}$-1unsigned long long

编译器在遇到负值的时候，先不看符号，而是根据数字来确定类型，然后再处理负号。

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C语言中 TMin 的写法

$C$ 头文件$<limits.h>$ 中：

/* Minimum and maximum values a 'signed int' can hold. */ #define INT_MAX 2147483647 #define INT_MIN (-INT_MAX - 1)

根据 $C$ 语言版本和常量的格式(十进制和十六进制)，常量的数据类型是从上面表格里选择第一个最合适（能表示常量而不溢出的）的类型。

对于 $ISOC90$，编译器依次尝试 $int、long、unsigned$（$32$位机器上 $long$ 跟 $int$ 一样，是 $32$ 位）, 最终选择 $unsigned$ 来表示。对于 $2147483648$ 和 $-2147483648$，如果表示为 $32$ 位的二进制数字，它们的位表示是一样的，都是 $0x80000000$。所以这个常量表达式 $-2147483648$ 的数据类型为 $unsigned$ 且值为 $2147483648$。

对于 $ISOC99$，编译器依次选择 $int、long、longlong$，最终选择 $longlong$ 类型才能容纳 $2147483648$ 。用 $64$位，可以唯一表示 $2147483648$ 和 $-2147483648$，所以这个常量表达式的数据类型为 $longlong$，值为 $-2147483648$。

对于 $16$ 进制常数 $0x80000000$ (注意，按照C语言中整型常量的定义，这个整数常量是正数，值为 $2417483648$)，在 $32$ 位机器上，编译器也是利用同样的规则，依照表一中的 $16$ 进制的列表来处理。两个语言标准中，都是首先跟 $TMax32$（$0x7FFFFFFF$）比较,由于 $0x80000000$ 更大，所以这个值不能用 $int$ 来表示。接下来和 $UMax32$（$0xFFFFFFFF$)比较，由于比它小一些，所以选择 $unsigned$ 来表示。所以这个常量表达式的数据类型是 $unsigned$，值为 $0x80000000$(或者说，是等于 $2147483648$ ）。

在 $64$ 位的机器上，事情稍微有些不同。两个语言标准中，十进制的格式 $-2417483648$ 都是$long$（$64$位）类型，值为 $-2417483648$，然而十六进制格式 $0x80000000$ 都是 $unsigned$ 类型，值为 $0x80000000$(或者说，是 $2147483648$)。

用一句话来解释 $C$ 语言中 $TMin32$的古怪写法的原因：虽然 $-2147483648$ 这个数值能够用int类型来表示，但在 $C$ 语言中却没法写出对应这个数值的 $int$ 类型常量。

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数据大小转换

short sx = -12345; unsigned uy = sx; 在一台大端法机器上：uy = 4294954951: ff ff cf c7这表明当把short转换成unsigned时，我们先要改变大小，之后再完成有符号到无符号的转换。这个规则是C语言标准要求的。

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截断数字

将一个 $w$ 位的数 $x=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$ 截断为一个 $k$ 位数字时，我们会丢弃高 $w-k$ 位，得到一个位向量 $x^{{}^{\prime }}=[x_{k-1},x_{k-2},...,x_0]$。截断一个数字会改变它的值——溢出的一种形式。

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无符号数减法

int sum(int a[], unsigned len) { int res = 0; for(int i = 0; i <= len - 1; ++i) res += a[i] return res; } 对于这样一个求和函数，当 $len==0$的时候，本应该返回 $0$，但实际上会出错。循环条件是无符号数加减法，这等效于模数加法（因为会溢出，而实际上都是按照无符号数读取数值）。最终陷入死循环。很多 函数（例如strlen、STL集合相关） 返回值都是 unsigned ，要格外小心。最好不要在加减法中使用无符号数。可以将条件修改为 i < len

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判断溢出

加法

int tadd_ok(int x, int y) { int sum = x+y; int neg_over = x < 0 && y < 0 && sum >= 0; int pos_over = x >= 0 && y >= 0 && sum < 0; return !neg_over && !pos_over; }

减法

int tsub_ok(int x, int y) { // 当y为最小整数的时候，就产生了溢出，因为任何数减最小数都会溢出 if (y == INT_MIN) { return 0; } int neg_y = -y; int sum = x + neg_y; int pos_over = x > 0 && neg_y > 0 && sum < 0; int neg_over = x < 0 && neg_y < 0 && sum >= 0; return !(pos_over || neg_over); }

乘法

int tmult_ok(int x, int y) { int p = x*y; /* Either x is zero, or dividing p by x gives y */ return !x || p/x == y; }

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int转换到float精度缺失

首先来看看我们可爱的int型变量吧，在一台典型的32位机器上一个有符号的int型的取值范围为-2147483648 ~ 2147483647（-2^31 ~ (2^31-1))。也就是说，在一个4字节（32位2进制），除去首位用于符号位表示正负外，其余的31位都是数字的有效位。

下面再来看看“万恶的”float型变量：根据IEEE的浮点标准，一个浮点数应该用下述形式来表示:

V=(-1)^s * M * 2^E （公式1）

在C语言中，32位的float型变量有着这样的规定：首位表示符号位 $s$ ，接下来的$8$位（指数域）用于表示$2$的指数$E$，剩余的$23$位（小数域）表示$M$（取值范围为 $[1，2）$ 或 $[0，1）$）。除了上述规定以外，根据指数域的二进制表示情况不同，被编码的float型数字又可以分成三种情况——

规格化值。当指数域的$8$个二进制数字既非全零又非全 $1$ 时，float数值就是这种情况。设指数域的八位二进制所表示的十进制数为e, 则公式$1$中的$E$就是 $E=e-(2^7-1)$（公式2）； 而且此时，将小数域所表示的二进制假设为 $(f_{22})(f_{21})...(f_1)(f_0)$，则该小数域所表示的值即为 $f=0.(f_{22}){(}_{f21})...(f_1)(f_0)$.于是 $M=1+f$

非规格化值。当指数域的$8$个二进制数字为全$0$时，float数值就为这种情况。这时指数域所表示的十进制数为$0$，规定指数值为 $E=1-(2^7-1)$, 也就是$E$为定值$-126$；此时小数域的值仍表示$f=0.(f_{22})(f_{21})...(f_1)(f_0)$，但是M的值却变成 $M=f$。

特殊值。当指数域的$8$个二进制数字为全1时即为这种情况。当小数域为全零时，该float值根据符号位的不同表示正无穷或者负无穷；当小数域为非全零时，该float值为NaN（Not a Number）。

以上，只是在C语言中对int和float的规约。具体在代码中执行强制类型转化究竟会发生什么？从下面两句很简单的语句开始：

int a = 3490593; float b = (float)a;

那么在内存中$a$和$b$究竟存放的是什么值呢？

将$a$展开为二进制，其值为0000 0000 0011 0101 0100 0011 0010 0001，其十六进制即为0x00354321。 因为要转化为float型，所以首先要对上述二进制的表示形式改变为 $M\ast 2^E$ 的形式.由于该数明显大于$1$，所以按照IEEE的标准，其浮点形势必然为规格化值。因此 ，转化后的形式为

$a=1.101010100001100100001\ast 2^{2}1$

根据 规格化值的定义，$M=1+f$. 所以 f = 0.101010100001100100001.因为float型变量的小数域一共23位。所以b的最后23位可以得出，其值为1010 1010 0001 1001 000 0100

下面再演绎指数域的值：因为a的指数表示法中，指数$E=21$。根据公式2，$e=E+(2^7-1)=148$.所以可以得出b的指数域的二进制表示为：10010100。在加上原数为正，所以符号位$s=0$。

所以，可以得出b的二进制表示为0 10010100 10101010000110010000100。转化为十六位进制则是0x4A550C84。换句话说，它存储在内存中的值是与a是完全不同的。但是其间还是有关联性的——a的首位为$1$的数值位后的二进制表示是与b的小数域完全相同的。

很快，问题就出现了。int型的有效位数是31，而float型小数域的有效位只有$23$位，也就是说如果上面的$a$的二进制的有效位超过了$24$位，那么float型的小数域的精度就不够了。因此必须进行舍入。比如：如果上面的a的二进制为0000 0001 1111 0101 0100 0011 0010 0001。这时b的小数域必须有$24$位才够，但是，这显然是不现实的，因此必须舍入到$23$位，舍入的原则是：所得结果的最低有效位为0。因此这个$a$在转换到float时，其精度就会丢失，因为该float的最后$23$位变成了11110101010000110010000——这显然是与原值不符的。

实际上，C语言中对于double型在$32$位机器上的小数域有$52$位，对于int型的$31$位有效位是绰绰有余了。这就是为什么大部分C语言教材上鼓励读者在执行强制类型转换时将int型转换成double。同时，这可能也是为什么int型能够直接隐式转换到double型的缘故。

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