图像处理——双边滤波器

双边滤波（Bilateral filter）是一种可以保边去噪的滤波器。之所以可以达到此去噪效果，是因为滤波器是由两个函数构成。

一个函数是由几何空间距离决定滤波器系数。另一个由像素差值决定滤波器系数。使用二维高斯函数生成距离模板，使用一维高斯函数生成像素差值模板。

对比两个filter：高斯低通滤波器和α-截尾均值滤波器（去掉百分率为α的最小值和最大之后剩下像素的均值作为滤波器）, 双边滤波器同时考虑了空间域与值域的差别，而Gaussian Filter和α均值滤波分别只考虑了空间域和值域差别。

双边滤波器中，输出像素的值$g(i,j)$依赖于邻域像素的值的加权组合: $$g(i,j)=\frac{{\sum }_{k,l}f(k,l)w(i,j,k,l)}{{\sum }_{k,l}w(i,j,k,l)}$$

距离模板$d(i,j,k,l)$: $$d(i,j,k,l)=exp(-\frac{(i-k{)}^2+(j-l{)}^2}{2{\sigma }_d^2})$$

像素差值模板$r(i,j,k,l)$: $$r(i,j,k,l)=exp(-\frac{||f(i,j)-f(k,l)|{|}^2}{2{\sigma }_r^2})$$ 其中，函数$f(i,j)$表示要处理的图像，$f(i,j)$表示图像在点$(i,j)$处的像素值；$(k,l)$为模板窗口的其他系数的坐标；$(i,j)$为模板窗口的中心坐标；${\sigma }_d$和${\sigma }_r$为高斯函数的标准差。

将上述两个模板相乘就得到了双边滤波器的模板: $$w(i,j,k,l)=d(i,j,k,l)\times r(i,j,k,l)=exp(-\frac{(i-k{)}^2+(j-l{)}^2}{2{\sigma }_d^2}-\frac{||f(i,j)-f(k,l)|{|}^2}{2{\sigma }_r^2})$$