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MinHash 原理前言Jaccard 相似度MinHash值计算MinHash签名及签名矩阵 局部敏感哈希算法（LSH）问题来源LSH 基本思想Banding for LSH 参考

MinHash 原理

前言

MinHash 用于比较集合的相似度。

在数据挖掘中，一个最基本的问题就是比较两个集合的相似度。通常通过遍历这两个集合中的所有元素，统计这两个集合中相同元素的个数，来表示集合的相似度；这一步也可以看成特征向量间相似度的计算（欧氏距离，余弦相似度）。

当这两个集合里的元素数量异常大（特征空间维数很大），同时又有很多个集合需要判断两两间的相似度时，传统方法会变得十分耗时，最小哈希（minHash）可以用来解决该问题。

Jaccard 相似度

Jaccard 相似度：通过计算交集的相对大小来获得集合之间的相似度。 $$Jaccard(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$$

Jaccard相似度在如下问题取得较好效果：在大的语料库中寻找文本内容相似的文档，这里主要指字面上的相似，而非语义上的相似。为了识别字面上相似的文档，需要将文档表示为文档中的短字符串集合，Shingling 是构建表示文中的短字符串集合的方法。

文档的 k-shingle 就是文档中出现过的长度为 k 的字符串。一篇文档表示成 k-shingle 的集合，如文档为字符串”abcdabd“，k = 2，则所有 2-shingle 组成的集合为 {ab,bc,cd,da,bd}。如果 k 取得太小，大部分长度为 k 的字符串会出现在大部分的文档中，这就会导致相似度较高。对于论文来说，k = 9较为合适。

Shingle 集合非常大，一个 4-shingle 组成的集合也是原始文件的 4 倍，所以集合相似度计算代价很大，MinHash 可以解决这个问题。

MinHash值计算

假设现在有4个集合，分别为S1，S2，S3，S4，其中 S1={a,d}, S2={c}, S3={b,d,e}, S4={a,c,d}，所以全集U={a,b,c,d,e}。我们可以构造如下0-1矩阵（特征矩阵），矩阵的列表示各个集合，行表示所有可能的元素：

元素是什么对最后的结果没有什么影响。所以索性用行号来代表Item，行号跟Item是一一相应的，如下：

行号S1S2S3S40100110010201013101140010

为了得到各集合的最小哈希值，首先对矩阵进行随机行打乱，则某个集合的最小哈希值就等于打乱后的这一列的第一个值为1的行所在的行号（即置换后哪个元素在最前），举例说明，定义一个最小哈希函数 h，用于模拟对矩阵进行随机行打乱，打乱后的0-1矩阵（特征矩阵）为：

如图所示，h(S1)=a,h(S2)=c,h(S3)=b,h(S4)=a。

变换后也可以表示为行号的形式：

行号S1S2S3S41001040010010013101120101

如图所示，h(S1)=0,h(S2)=2,h(S3)=1,h(S4)=0。

行号也可以是固定不变的，其实是等价的，只不过是一个标志而已，而且一般说行号的话，都是从上往下递增的：

行号S1S2S3S40001010010210013101140101

这样的话，h(S1)=2,h(S2)=4,h(S3)=0,h(S4)=2。下面都采用这种行号固定的方式。

可以看出，无论是用元素作为第一列，还是用变换的行号作为第一列，还是用固定的行号作为第一列，结果是等价的。因为无论行号是否固定，只是一个标志而已。

在经过随机行打乱后，两个集合的最小哈希值相等的概率等于这两个集合的Jaccard相似度。证明如下：

S1和S2的值都为1，记为X；只有一个值为1，另一个值为0，记为Y；S1和S2的值都为0，记为Z；S1和S2交集的元素个数为x，并集的元素个数为x+y，所以sim(S1,S2) = Jaccard(S1,S2) = x/(x+y)。接下来计算h(S1)=h(S2)的概率，经过随机行打乱后，从上往下扫描，在碰到Y行之前碰到X行的概率为x/(x+y)，即h(S1)=h(S2)的概率为x/(x+y)。

MinHash签名及签名矩阵

用一个单词来代表一个文档偶然性会比较大，那么这个时候我们的想法是，能够随机地产生多次变换，取出多个单词来进行比较，也就是进行多次行打乱。

对于每个行打乱方式，每一个集合（文档）都有一个最小哈希值。如果有n个行打乱方式（n一般是一百到数百），每个集合就能产生 n 个最小哈希值，把这些哈希值写成一个列向量，也称为MinHash签名。

每个集合（文档）的列向量组合在一起，写成一个矩阵，称为MinHash签名矩阵。

当特征矩阵很大，打乱很耗时且需要多次打乱。为了解决这个问题，可以通过一些随机哈希函数来模拟打乱的效果（哈希函数用h1,h2,……,hn表示，一个哈希函数为每个集合产生一个 MinHash 值，所有的 n 个 MinHash 值组成的就是这个集合的 MinHash 签名）。

之前计算 MinHash 值的时候，都是变换矩阵的内容而行号不变，但我们知道运动是相对的，也可以不变矩阵，仅仅变换行号，这样计算量就少了很多，模拟打乱效果时，就采用的这种思想。

模拟打乱效果，生成 MinHash签名矩阵的处理过程如下：

令 $SIG(i,c)$ 表示签名矩阵中第 i 个哈希函数在第 c 列上的元素。开始时，将所有的 $SIG(i,c)$ 都初始化为 $Inf$，然后对每一行进行如下处理： 计算 h1®,h2®,……,hn®（这是关于行号的函数）.对于每一列c（每一列对应一个集合）： 如果 c 所在的第 r 行为0，则什么都不做；如果 c 所在的第 r 行不为1，则对于每个 i=1,2,……,n，将 $SIG(i,c)$置为 $min\{SIG(i,c),h_i(r)\}$.

举例说明：

这里使用两个哈希函数，$x+1mod5$ 以及 $3x+1mod5$.

行号S1S2S3S4$x+1mod5$$3x+1mod5$01001111001024201013231011404001003

初始化：

哈希函数S1S2S3S4$h_1$$\infty$$\infty$$\infty$$\infty$$h_2$$\infty$$\infty$$\infty$$\infty$

处理第 0 行，其中列 S1 以及 S4 是 1，例如 $SIG(h_1,S1)>h_0(0)$，将 $SIG(h_1,S1)$置为$h_0(0)=1$：

哈希函数S1S2S3S4$h_1$$1$$\infty$$\infty$$1$$h_2$$1$$\infty$$\infty$$1$

处理第 1 行：

哈希函数S1S2S3S4$h_1$$1$$\infty$$2$$1$$h_2$$1$$\infty$$4$$1$

处理第 2 行：

哈希函数S1S2S3S4$h_1$$1$$3$$2$$1$$h_2$$1$$2$$4$$1$

处理第 3 行：

哈希函数S1S2S3S4$h_1$$1$$3$$2$$1$$h_2$$0$$2$$0$$0$

处理第 4 行：

哈希函数S1S2S3S4$h_1$$1$$3$$0$$1$$h_2$$0$$2$$0$$0$

这就是最终的签名矩阵（MinHash签名矩阵），里面每一列都代表对应集合（文档）的哈希签名（MinHash签名），可以计算集合之间的相似度。

$Sim(S1,S3)=0.5,Sim(S1,S4)=1$

局部敏感哈希算法（LSH）

问题来源

这里主要说的是判断文档（集合）相似性中的LSH。

对于集合中元素个数很多，而且有很多集合需要判断相似性的情况，MinHash解决了元素个数很多的集合判断相似性的问题，但是还剩下集合个数很多的问题没有解决，那么给定一组文档，还有MinHash签名矩阵，不去一一计算Hash签名的相似性，怎么快速地寻找与一个查询文档（最）相似的文档呢？

LSH 基本思想

Locality Sensitive Hashing(LSH)。

即使可以使用 MinHash 将大文档压缩成小的哈希签名，当文档数目太大时寻找相似文档对仍然是不可能的，因为需要计算出所有文档的哈希签名，然后两两计算相似度。那么我们能不能只比较那些相似度可能很高的文档，而忽略那些相似性很低的文档之间的比较？

实际上，只需要寻找那些相似性可能很高的文档对，而不是全部文档对。这就是局部敏感哈希。

假设文档先表示成 Shingle 集合，通过 MinHash 处理，变成最小哈希签名，所有文档的最小哈希签名组成签名矩阵。基本想法：

把签名矩阵分成子矩阵（行条），使用多次哈希函数。具有相同部分（某行条中的值相等）的列将被哈希到同一个桶中。只考察那些哈希到同一个桶里面的列的相似性（这样相似的可能性较大）。

Banding for LSH

把签名矩阵分成 b 个行条（band），每个行条由 r 行组成（假设签名矩阵中有 n 行，那么n = br）。对于每个行条，存在一个哈希函数能够将行条中的每 r 个整数组成的列向量（行条中的每一列）映射到某个桶中，可以对所有行条使用相同的哈希函数，但是每个行条都有独立的桶数组。

只要两个集合在某个行条中有落在同一个桶数组中的列，这两个集合就认为可能相似度比较高，就作为后续计算的候选对。

例：现在有一个12行签名矩阵，把这个矩阵分为4个行条，每个行条有3行；为了方便，这里只写出行条1的内容（n = 12, b = 4, r = 3）。

可以看出，行条1中第2列和第4列的内容都为[0,2,1]，所以这两列会落在行条1下的相同桶中，因此不论在剩下的3个行条中这两列是否有落在相同桶中，这两个集合都会成为候选对。在行条1中不相等的两列还有另外的3次机会成为候选对，因为他们只需在剩下的3个行条中有一次相等即可。 对于S2，我们仅需要寻找那些桶相同的集合来计算相似度，例如：

我们仅需要计算sim(S2, S3)，sim(S2, S4)，sim(S2, S5)，因为这些集合出现过与S2桶相同的情况。

参考

2018-11-15-MinHash原理。