01背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式i

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5 1 2 2 4 3 4 4 5

输出样例：

8

解法一

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1e3+5; int v[N],w[N];//v体积,w价值 int f[N][N];//表示只看前i个物体，总体积是j的情况下，总价值最大是多少。 // result = max{f[n][0~V]} // 1.不选第i个物体,f[i][j] = f[i-1][j] // 2.选第i个物体,f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] int main(){ int n,bag_size;//物品数量和背包容积 cin>>n>>bag_size; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=bag_size;j++){ f[i][j] = f[i-1][j]; if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); } //int res = 0; //for(int i=0;i<=bag_size;i++) res = max(res,f[n][i]); cout<<f[n][bag_size]<<endl; return 0; }

解法二

#include<iostream># #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1e3+5; int v[N],w[N];//v[]体积,w[]价值 int f[N]; int main(){ int n,bag_size;//物品数量和背包容积 cin>>n>>bag_size; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=bag_size;j>=v[i];j--) f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); cout<<f[bag_size]<<endl; return 0; }

完全背包问题（相比于01背包，区别就是每种物体可以取无限个）

解法一

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1e3+5; int v[N],w[N];//v体积,w价值 int f[N][N];//表示只看前i个物体，总体积是j的情况下，总价值最大是多少 int main(){ int n,bag_size;//物品数量和背包容积 cin>>n>>bag_size; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=bag_size;j++){ f[i][j] = f[i-1][j]; if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//朴素做法唯一改变点 } cout<<f[n][bag_size]<<endl; return 0; }

解法二

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int N =1e3+10; int v[N],w[N],f[N]; int main(){ int n,m; cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=v[i];j<=m;j++) f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); cout<<f[m]; return 0; }

01背包：f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i])

完全背包：f(i,j) = max(f(i-1,j),f(i,j-v[i])+w[i])

解法参考出处：acwing （yxc）