函数f的二阶导数f''有什么用？
在一个很短的间隔内，二阶导数可以非常好地利用二次多项式（quadratic polynomial）去近似一个函数。
那接下来我们的目的就是找出这个二次多项式。
利用单调性，f'' > 0，f'递增，可以预测f也是递增。那么我们的目的就是用f''去预测f是怎么样的。
假设f''在区间[a, b]能满足如下不等式：
(1)
根据上面不等式，有M - f''(x) ≥ 0，这个不等式可以看作是函数g(x) = Mx - f'(x)的导数。
由于M - f''(x) ≥ 0，所以g(x)在区间[a, b]中单调递增，所以g(a) ≤ g(x) 即满足下面不等式：
(2)
移项得到：
（3）
上式左边是f(x) - f'(a)x的导数，右边是1/2 M(x - a)²的导数，那么可以得出下面函数：
由于该函数的导数满足(3)，所以函数在[a, b]区间单调递增，那么可以推导出下面的式子：
f(x)移到左边，其他移到右边得到：
由于m ≤ f''(x)，根据单调性同理推导出：
那么总结出最后的不等式：
（4）
那么必须有一个H在m和M之间，即m ≤ H ≤ M，使得：
(5)
把f''(x)看成一个函数，由于m ≤ f''(x) ≤ M在[a, b]区间，根据介值定理，必定存在一个点x = c满足f''(c) = H。
把x = b，f''(c) = H代入(5)式得到：
(6)
公式 (6)就是linear approximation。
参考资料：
Calculus with Application by Peter D. Lax
