图神经网络——node2vec

论文地址：https://arxiv.org/pdf/1607.00653.pdf发表会议：KDD2016

文章目录

1. 引言2. 采样算法2.1. 传统的采样算法2.2. Node2vec中的采样算法2.3. 使用基于random walk采样的好处(时间空间复杂度分析) 3. node2vec算法流程4.实验5. 总结

1. 引言

这篇论文可以说是对DeepWalk的扩展。按照LINE中的说法，DeepWalk只捕捉了节点间的二阶相似性，LINE同时捕捉节点间的一阶相似性和二阶相似性。而Node2Vec也是同时捕捉了一阶相似性和二阶相似性，和LINE不同的是，Node2Vec是基于Random Walk实现的。

首先介绍两个重要的概念：

一阶相似性：在Node2Vec中也叫做同质性(homophily)。一阶相似性捕捉的是图中实际存在的结构，比如两个节点由一条边相连，则这两个节点应该具有相似的表示。按照Node2Vec中的说法，高度互连且属于相似网络集群或社区的节点表示应该比较相近。一阶相似性往往可以通过对节点的DFS遍历得到。

二阶相似性：在Node2Vec中也叫做结构对等性(structural equivalence)。在网络中具有相似结构的节点表示应该相近，它并不强调两个节点是否在图中存在连接，即使两个节点离得很远，但由于结构上相似（连接的邻居节点相似），它们的表示也应该相似。所以二阶相似性可以发现不同的社区。二阶相似性可以通过对节点的BFS遍历得到。

一阶相似性和二阶相似性的区别可由下图看出： (图1)： 其中节点$U$和节点$S_6$就是属于二阶相似性，可由BFS遍历捕获到；$U$和$S_1$就属于一阶相似性，可由DFS捕获到。

注：这里的结论可能与我们理解的相反，即，一阶相似性不应该由BFS得到吗？下面介绍Node2Vec时会给出我自己的一些想法。

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Node2Vec首先借鉴了自然语言处理中的skip-gram算法，给定一个节点，最大化周围邻居节点出现的条件概率： （公式1）：

注：这里$N_s(u)$是节点$u$的邻居节点，在Node2vec中，邻居节点有着不一样的定义，它不一定是有直接边相连的节点，而是根据采样策略确定的。后面会有详细介绍。

为了方便优化上式，作者做了两个假设：

条件独立性假设：即各个邻居节点是互相独立的，所以有： 特征空间的对称性：即一个节点和它的邻居节点之间的影响是相互的，于是也可以对邻居节点进行嵌入表示，然后利用点乘的形式刻画条件概率： 有了以上两点假设，就可以把公式（1）改成以下形式： 公式（2）： 其中： 这里我们发现，最终导出的目标函数和LINE中二阶相似性公式很像，实际上两者只相差了一个边的权重$w_{ij}$。和LINE中一样，计算$Z_u$是耗时的，所以作者也采用了负采样的方法。

注：LINE中对二阶相似性建模的公式：

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写到这里可以发现，以上思想和DeepWalk是非常相似的，都是给定一个节点，最大化邻居节点（一次采样路径上的节点）出现的条件概率，只不过由于计算方式的不同，Node2vec捕捉了二阶相似性，DeepWalk捕捉了一阶相似性？（这里存疑）。DeepWalk到这里核心算法其实已经结束了，它接下来都在介绍如何利用Hierarchical Softmax来优化条件概率的计算。而Node2vec到这里才刚刚开始，它和DeepWalk的最大不同就是如何采样节点，即采样邻居节点$N_s(u)$。

2. 采样算法

2.1. 传统的采样算法

传统的采样方法主要分为以下两部分：

基于BFS，基于广度优先遍历的采样。那么通常$N_s(u)$为节点$u$的直接邻居，即与$u$直接相连的节点。比如在图1中，我们设置采样大小$K=3$，那么$N_s(u)$为$s_1$、$s_2$和$s_3$。基于DFS，基于深度优先遍历的采样。那么采样的节点会离源节点越来越远。比如在图1中，我们设置采样大小$K=3$，那么$N_s(u)$为$s_4$、$s_5$和$s_6$。

实际上，这两种比较极端的采样方法DFS和BFS对应于前面所说的一阶相似性和二阶相似性，也叫同质性和结构对等性。node2vec就是想通过设计一种采样算法，来融合一阶相似性和二阶相似性。

2.2. Node2vec中的采样算法

node2vec中的采样算法是基于random walk的。给定源节点$u$，采样长度$l$，假设当前在第$c_{i-1}$个采样节点，那么下一个采样节点为$x$的概率为： 其中${\pi }_{vx}$为从节点$v$到节点$x$的转移概率。$Z$为归一化的常数。

传统的random walk采样算法是完全随机的，这样就很难刻意让采样过程自动寻找一阶和二阶相似性。为此，作者提出了二阶随机游走(2nd order random walk)。 以上图为例，当前在节点$v$，并且上一步在节点$t$，那么对于下一步的转移概率${\pi }_{vx}$，作者定义${\pi }_{vx}={\alpha }_{pq}(t,x)\cdot w_{vx}$，其中： 这里$d_{tx}$表示了下一步的动作类型，$d_{tx}=0$表示返回上一步访问过的节点即$t$；$d_{tx}=1$表示访问上一步节点$t$的下一个邻居节点比如$x_1$，即对节点$t$进行BFS遍历访问；$d_{tx}=2$表示访问更远的节点，即从$v$出发继续DFS遍历访问。

而二阶随机游走只需两个参数$p$和$q$就可以完成。 其中$p$指“返回参数”，它控制着返回已经访问过的节点的概率，如果$p$比较大($>max(q,1)$)，那么不太可能会再次访问上一个访问过的节点；如果$p$比较小($<min(q,1)$)，那么很有可能再次访问上一个访问的节点。 $q$指“in-out参数”，它控制着下一步采样是在当前节点周围还是去探索更远的节点，换句话说，是按照BFS采样还是DFS。如果$q>1$，则采样倾向于在对$t$进行BFS采样，可以捕捉图的局部信息；如果$q<1$，则采样倾向于对$t$进行DFS采样，可以捕捉图的全局信息。

2.3. 使用基于random walk采样的好处(时间空间复杂度分析)

空间复杂度：因为需要保存每个节点的二阶邻居，所以空间复杂度为$O({\alpha }^2|V|)$，其中$\alpha$为每个节点的平均度(degree)。 时间复杂度：假设对于长度为$l$的一次random walk，每个节点需采样的邻居节点数为$k$，则能为$l-k$个节点找到他们的邻居节点，那么这一次random walk使用的节点总数就为$k(l-k)$。以图1为例，$l=6$，$k=3$时，一次random walk采样到的节点序列为$\{u,s_4,s_5,s_6,s_8,s_9\}$，那么产生的邻居节点$N_s(\cdot )$为，$N_s(u)=\{s_4,s_5,s_6\}$，$N_s(s_4)=\{s_5,s_6,s_8\}$，$N_s(5)=\{s_6,s_8,s_9\}$，即能为6-3=3个节点找到它们的邻居节点，一次random walk使用的节点总数为3*(6-3)=9。同时一次random walk的时间复杂度为$l$，那么实际每采样一个节点的平均时间复杂度为$O(\frac{l}{k(l-k)})$。由于样本重用(sample reuse)，即不同节点的邻居节点有重合，大大降低了时间复杂度。如果没有样本重用，长度为$l$的一次采样只会采样并利用$l$个节点。虽然样本重用可能会造成偏差，但是时间复杂度确实提高不少。

3. node2vec算法流程

特征学习算法（输入为图$G=(V,E,W)$，节点维度$d$，每个节点的walk数$r$(并行)，步长$l$，上下文长度(邻居个数)$k$，返回参数$p$，in-out参数$q$)

首先计算各条边的转移概率$\pi$将转移概率做为权重后的新图$G^{{}^{\prime }}=(V,E,\pi )$初始化采样路径集合$walks$为空每个节点同时运行$r$个walk  对于图中每个节点$u$    利用算法$node2vecWalk(G^{{}^{\prime }},u,l)$采样产生一条从节点$u$开始的路径$walk$    将产生的路径加入路径集合$walks$利用随机梯度下降学习节点的表示$f$返回$f$

node2vecWalk算法（输入为图$G^{{}^{\prime }}=(V,E,\pi )$，开始节点$u$，步长$l$)

初始化采样序列$walk$为节点$[u]$从1到$l$开始循环(共采样$l$个节点)  取出$walk$中的当前节点$curr$  从图$G^{{}^{\prime }}$中得到$curr$的邻居节点集合$V_{curr}$  根据转移概率$\pi$从$V_{curr}$中采样一个节点$s$  将$s$加入$walk$返回$walk$

注:node2vecWalk算法的第5步采用了alias采样算法，可以再O(1)时间内完成。

4.实验

作者首先利用小说《悲惨世界》的人物共现关系验证了node2vec方法的有效性。如下图所示： 其中，位于上面的一副图是设置$p=1，q=0.5$时节点的表示。相同颜色的节点表示相似。上面的一副图设置侧重于DFS，所以它能捕捉到节点的同质性，即相同社区的节点聚集在一起，颜色相同。我的理解是：偏重DFS时，两个社区可能只有几条边相连，而社区内部相连的边会很多，那么偏重DFS采样时，两个社区的节点同时被采样到的概率会很小，所以两个社区之间节点的相似性就会变小，同时社区之内节点的相似性就会变大。(根据公式(2))。所以偏重DFS会发现不同的社区聚集，即同质性。

下面的一幅图是设置$p=1，q=2$时节点的表示。它侧重于BFS，所以能发现节点的结构等同性，比如位于边缘的节点都是同一颜色，位于中间的节点是同一颜色。我的理解是：偏重BFS时，即使两个社区只有少数边连接，但是采样是根据邻居节点来的，所以不同社区的节点也会进行相似逼近，因为有可能位于两个社区的两个节点是邻居。所以偏重BFS会刻画出图的结构信息，比如位于边缘的节点表示相似，位于中间的节点表示相似，这就是结构等同性。

最后作者在节点多标签分类和链接预测任务上进行了实验，验证了node2vec的优越性。

5. 总结

node2vec可以说是deepwalk的扩展，通过两个参数$p$和$q$来控制bfs和dfs两种方式的随机游走，而deepwalk是一种不加制约，漫无目的的游走，不能显式建模节点之间的结构信息。