[矩阵论]Hamilton-Cayley定理及其证明

定理内容： n阶矩阵A是其特征多项式的矩阵根（零点），即令： $$\phi (\lambda )=det(\lambda I-A)={\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_n$$ 则有： $$\phi (A)=A^n+a_1{A}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}A+a_n=O$$ 证明： 将$\phi (\lambda )$改写为： $$\phi (\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_n)$$ 由定理：任意的n阶矩阵都能相似为上三角矩阵 可知，存在可逆矩阵P，使得： $$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& \ast & \cdots & \ast \\ & {\lambda }_2& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & \ast \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$ 将$PA{P}^{-1}$代入$\phi (\lambda )$得到： $$\phi (PA{P}^{-1})=(PA{P}^{-1}-{\lambda }_{1}I)(PA{P}^{-1}-{\lambda }_{2}I)\cdots (PA{P}^{-1}-{\lambda }_{n}I)$$ 计算： $$\left[\begin{array}{cccc}0& \ast & \cdots & \ast \\ & {\lambda }_2-{\lambda }_1& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & \ast \\ & & & {\lambda }_n-{\lambda }_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1-{\lambda }_2& \ast & \cdots & \ast \\ & 0& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & \ast \\ & & & {\lambda }_n-{\lambda }_2\end{array}\right]\cdots \left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1-{\lambda }_n& \ast & \cdots & \ast \\ & {\lambda }_2-{\lambda }_n& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & \ast \\ & & & 0\end{array}\right]=O$$ 即$\phi (PA{P}^{-1})=P\phi (A)P^{-1}=O$，故有$\phi (A)=O.$ 证毕