模运算和负数的补码为什么要按位取反再加一

模运算概念解析（非常重要） 结论

模运算

模运算概念：在一个模运算系统中，一个数与它除以“模”后的余数等价

作用：实现+ 和– 的统一，实现数值运算时使用同一的符号

例如：模12系统时钟   假定钟表时针指向10点，要将它拨向6点， 则有两种拨法：     ① 倒拨4格：10- 4 = 6     ② 顺拨8格：10+8 = 18

  即模运算：8是- 4对模12的补码，- 4的模12补码等于8     10- 4 ≡ 10+8 (mod 12)     - 4 ≡ 8 (mod 12)

概念解析（非常重要）

模运算实际上就相当与一个一元一次函数，如：1+x=0,求x=？，答：x=0-1 即-1，这个一元一次函数中0就是模，就相当于- 4 ≡ 8 (mod 12)中的12，1和-1就相当于- 4 ≡ 8 (mod 12)中-4和8

至于为什么，因为“溢出”，就像钟表只有12个点，就相当与一个12进制数，而存储这个数的空间只有一位，当超过12点后，时间就放生了“溢出”，可显示的数值就变成了0，那么指向10点的钟表，要将它拨向6点，如果这么看10-x=0，求x，答：x=-4或+8，-4可以理解往后面拨四个小时就行了，+8呢，10点往前拨8个小时，10+8=18，但是模12系统中最大的数位为12，18超过了12发生了溢出，自然就变成6了

换算到计算机系统中的二进制数据，1+x=0,求x=？由于需要表示符号位就变成了，00000001+x=00000000，里面的x就应该代替 -1的二进制编码才对，这样，我们得到 x=11111111，而11111111就是-1，所以称11111111为-1的补码

我们常理解为补码就是负数“按位取反，末尾加一”，我们知道模就是R位模系统中的基数，如：1-1=0，如-1=0-(+1)，即二进制的1000000001=0000000000-0000000001，即1000000001=(1111111111-0000000001)+0000000001，正是负数的按位取反，末尾加一

结论

  一个负数的补码等于模减该负数的绝对值     1000000001(-1)=0000000000-0000000001(1)

  对于某一确定的模，某数减去小于模的另一数，总可以用该数加上另一数负数的补码来代替