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一、关系闭包二、自反闭包三、对称闭包四、传递闭包

一、关系闭包

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包含给定的元素 , 并且 具有指定性质 的 最小的 集合 , 称为关系的闭包 ; 这个指定的性质就是关系 $R$

自反闭包 r ( R ) : 包含 $R$ 关系 , 向 $R$ 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系

对称闭包 s ( R ) : 包含 $R$ 关系 , 向 $R$ 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系

传递闭包 t ( R ) : 包含 $R$ 关系 , 向 $R$ 关系中 , 添加有序对 , 变成传递 的 最小的二元关系

定义中有三个重要要素 :

包含给定元素具有指定性质最小的二元关系

二、自反闭包

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自反闭包 r ( R ) : 包含 $R$ 关系 , 向 $R$ 关系中 , 添加有序对 , 变成 自反 的 最小的二元关系

$R\subseteq r(R)$

$r(R)$ 是自反的

$\forall S((R\subseteq S\wedge S自反)\to r(R)\subseteq S)$

关系 $R$ 的关系图 $G(R)$ :

$R$ 的自反闭包 $G(r(R))$ 关系图 : 在 $R$ 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 $r(R)$ 变成 自反 的 最小的二元关系 , 自反的条件是所有的顶点都有环 , 这里为四个顶点都添加环 ;

三、对称闭包

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自反闭包 r ( R ) : 包含 $R$ 关系 , 向 $R$ 关系中 , 添加有序对 , 变成 对称 的 最小的二元关系

$R\subseteq s(R)$

$s(R)$ 是对称的

$\forall S((R\subseteq S\wedge S对称)\to r(R)\subseteq S)$

关系 $R$ 的关系图 $G(R)$ :

$R$ 的对称闭包 $G(s(R))$ 关系图 : 在 $R$ 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 $s(R)$ 变成 对称 的 最小的二元关系 , 对称的条件是 任意两个顶点之间有 $0/2$ 条有向边 , 有 $0$ 条边的不管 , 有 $1$ 条边的在添加一条反向有向边 ;

四、传递闭包

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自反闭包 r ( R ) : 包含 $R$ 关系 , 向 $R$ 关系中 , 添加有序对 , 变成 传递 的 最小的二元关系

$R\subseteq t(R)$

$t(R)$ 是对称的

$\forall S((R\subseteq S\wedge S传递)\to r(R)\subseteq S)$

关系 $R$ 的关系图 $G(R)$ :

$R$ 的对称闭包 $G(t(R))$ 关系图 : 在 $R$ 的基础上 , 添加有些有序对 , 使 $t(R)$ 变成 传递 的 最小的二元关系 , 传递的条件是 ① 前提 $a\to b,b\to c$ 成立 , $a\to c$ 存在 , 或 ② 前提不成立 , 前提不成立的情况下不管默认就是传递的 , 如果前提成立 , 则必修添加对应的第三条边 ;