Python辅助解决数学问题——一个数的数字平方和

Python辅助解决数学问题—— 一个数的数字平方和

一、源头二、python的简单验证1. 对任意一个正整数的试验操作2. 对任意一个100以内的正整数的试验操作 三、探究进入1循环的数值规律1. 从“01”,“10”的路径考虑：2. 从“100”的路径考虑：3. 从“130”的路径考虑： 四、总结

一、源头

我们从任何一个正整数开始，比如说9246，求出它的各位数字的平方和（81+4+16+36=137），再对这个数做同样的事情（137给出1+9+49=59），并且对每次所得结果重复这一步骤，这样便得到一个整数序列。对于我们的例子，这个序列是： 9246，137，59，106，37，58，89，145，42，20，…那么，不论开始时人们选取什么整数，所得到的序列，要么出现数1（而在1之后显然就永远重复这个数字），要么出现数4（而在4之后就一直循环出现4，16，37，58，89，145，42，20）。——源自《数学中的智巧》—R·亨斯贝尔格我们知道，一旦求和到1，接下来就是一直是1，循环。一旦求和到4，那就是“4，16，37，58，89，145，42，20，4”*的循环圈。

二、python的简单验证

1. 对任意一个正整数的试验操作

a = input("请输入一个数：") sum = 0 for i in range(10000): # 预设10000次循环（够用，即使数值各个位上都是最大的数字9，这个n位数在第一次操作后就会变为81n，位数骤降😆） for j in range(len(str(a))): m = str(a)[j] sum = int(m) *int(m) + sum print(sum) if sum == 1: print("到1开始循环了") break elif sum == 4: print("到4开始循环了") break else: a = sum sum = 0

任意输入一个数值：

请输入一个数：2617829 239 94 97 130 10 1 到1开始循环了 请输入一个数：36653728 232 17 50 25 29 85 89 145 42 20 4 到4开始循环了

2. 对任意一个100以内的正整数的试验操作

为了更清晰地看到数字的循环规律，我们不妨对100以内的数值进行分析，看看哪些数值能够进入“1循环”，哪些数值能够进入“4循环圈”。

将进入“1循环”的数值找出来，代码如下： sum = 0 for k in range(1,101): sum = 0 a = k for i in range(10000): for j in range(len(str(a))): m = str(a)[j] sum = int(m) *int(m) + sum if sum == 4: break else: if sum == 1: print(k,"到1了") break else: a = sum sum = 0

运行结果：

1 到1了 7 到1了 10 到1了 13 到1了 19 到1了 23 到1了 28 到1了 31 到1了 32 到1了 44 到1了 49 到1了 68 到1了 70 到1了 79 到1了 82 到1了 86 到1了 91 到1了 94 到1了 97 到1了 100 到1了 将进入“4循环圈”的数值找出来，代码如下： sum = 0 for k in range(1,101): sum = 0 a = k for i in range(10000): for j in range(len(str(a))): m = str(a)[j] sum = int(m) *int(m) + sum if sum == 4: print(k, "到4了") break else: if sum == 1: break else: a = sum sum = 0

运行结果：

2 到4了 3 到4了 4 到4了 5 到4了 6 到4了 8 到4了 9 到4了 11 到4了 12 到4了 14 到4了 15 到4了 16 到4了 17 到4了 18 到4了 20 到4了 21 到4了 22 到4了 24 到4了 25 到4了 26 到4了 27 到4了 29 到4了 30 到4了 33 到4了 34 到4了 35 到4了 36 到4了 37 到4了 38 到4了 39 到4了 40 到4了 41 到4了 42 到4了 43 到4了 45 到4了 46 到4了 47 到4了 48 到4了 50 到4了 51 到4了 52 到4了 53 到4了 54 到4了 55 到4了 56 到4了 57 到4了 58 到4了 59 到4了 60 到4了 61 到4了 62 到4了 63 到4了 64 到4了 65 到4了 66 到4了 67 到4了 69 到4了 71 到4了 72 到4了 73 到4了 74 到4了 75 到4了 76 到4了 77 到4了 78 到4了 80 到4了 81 到4了 83 到4了 84 到4了 85 到4了 87 到4了 88 到4了 89 到4了 90 到4了 92 到4了 93 到4了 95 到4了 96 到4了 98 到4了 99 到4了

三、探究进入1循环的数值规律

通过运行程序，我们知道[1,100]的正整数中，循环到1的有1，7，10，13，19，23，28，31，32，44，49，68，70，79，82，86，91，94，97，100，20个数。

如何通过规律把这20个数有理有据地找出来呢？

首先，① 对于正整数1，10，100，毫无疑问，一定是指向1循环的； ② 若一个两位数最终指向1，那么这个两位数调换个位和十位的数值后，也会指向1.

参照费马二平方定理的操作思路： $$5=1^2+2^2$$ $$13=2^2+3^2$$ $$17=1^2+4^2$$ * 当然，以上引例是基于费马二平方素数，也就是一个素数为两个整数的平方和且两个整数均为素数，即素数F=XX+YY，X，Y皆为素数时，F就是费马二平方素数。基于以上思路以及①②两个规律，我们分别从下面👇这几个路径入手，找寻这些数值的规律——逆向思考1，10，100，可以为哪两个数的平方和，进而不断推出进入“1循环”的正整数。

1. 从“01”,“10”的路径考虑：

①… 哪两个正整数的平方和等于10？ $$10=1^2+3^2.$$ 于是13，31，是指向1的，再来思考13： ②…哪两个正整数的平方和等于13？ $$13=2^2+3^2.$$ 于是23，32，是指向1的，再来思考32： ③… 哪两个正整数的平方和等于32？ $$32=4^2+4^2.$$ 于是44，是指向1的.

由此，从10（或者01）出发的路径，我们可以找到1，10，13，31，23，32，44，七个数值。

2. 从“100”的路径考虑：

①… 哪两个正整数的平方和等于100？ $$100=6^2+8^2.$$ 于是68，86，是指向1的，再来思考68： ②…哪两个正整数的平方和等于68？ $$68=2^2+8^2.$$ 于是28，82，是指向1的，再来思考82： ③… 哪两个正整数的平方和等于82？ $$82=1^2+9^2.$$ 于是19，91，是指向1的.

由此，从100出发的路径，我们可以找到68，86，28，82，19，91，100，七个数值。

我们发现 —— 从以上路径出发，我们已经找到了14个数值了，其实还有一个角度被我们忽略了，100以内的正整数，两个数值的平方和最大时，是个位数字与十位数字是9的时候，也就是99，此时平方和是162，也就是说我们还要思考当100<平方和<162的情况，从以上分析中，有“13”这个两位数，那么指向13和指向130的数值，最终都将指向1。为什么只考虑13后面加一个0呢？因为除了13和1以外，👆上面我们论证出的任何指向1的数值，比如19 ，在后面加一个0后，都不在100<平方和<162的范围内，也就是都不会是两位数的平方和。于是我们又有了第三个路径。

3. 从“130”的路径考虑：

①… 哪两个正整数的平方和等于130？ $$130=7^2+9^2.$$ 于是79，97，是指向1的，再来思考97： ②…哪两个正整数的平方和等于97？ $$97=4^2+9^2.$$ 于是49，94，是指向1的，再来思考49： ③… 哪两个整数的平方和等于49？ $$49=0^2+7^2.$$ 于是7（可以理解为07），70，是指向1的.

由此，从130出发的路径，我们可以找到79，97，49，94，7，70，六个数值。

四、总结

这样看，100以内的正整数中，最终落入1循环的20个数值，就让我们通过逆向思维都找出来了。是不是很神奇？其实理解这个问题不必要求读者具备很深的数学修养，而是重在考察其“找规律”、“做数学”的习惯和品质。虽不需要多少专门知识，但也极少有人一眼就能看出里面的各类关系，所以平凡如我们，就要备好纸和笔，动一番脑筋才成🤔🤔。