【LeetCode】120. 三角形最小路径和

一、题目

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

例如，给定三角形：

[ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

二、解决

1、递归（超时）

思路：

[ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ] 分析下可得：(i, j)点的相邻节点为：(i+1, j)与（i+1, j+1)。

定义： $f(i,j)$ 为 $(i,j)$点到底边的最小路径和。 推导：$f(i,j)=min(f(i+1,j),f(i+1,j+1))+triangle(i,j)$ 含义：任意一点到底边的最小值 = min{与该点相邻的两点} + 该点

代码：

class Solution { public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { return dfs(triangle, 0, 0); } private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) { if (i == triangle.size()) { return 0; } return Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j); } }

时间复杂度： $O(n^2)$ 空间复杂度： $O(n)$

2、递归+记忆化

思路：

简单递归有大量重复计算，为了加速运算，同时降低空间复杂度，可以用记忆化的方式。

代码：

class Solution { Integer[][] memo; public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { memo = new Integer[triangle.size()][triangle.size()]; return dfs(triangle, 0, 0); } private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) { if (i == triangle.size()) { return 0; } if (memo[i][j] != null) { return memo[i][j]; } return memo[i][j] = Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j); } }

时间复杂度： $O(n^2)$ 空间复杂度： $O(n)$

3、动态规划

版本1

思路：

将解法1中自顶向下的递归改为自底向上的递推。

1、状态定义 $d[i][j]$：点(i,j)到底边的最小路径和。

2、转移方程 $dp(i,j)=min(dp(i+1,j),dp(i+1,j+1))+triangle(i,j)$

整体过程简单整理：从底向上开始递归，从倒数第二行（节点A的相邻节点）+最后一行节点A 开始递归，不断往上，直到第一行，得出最小的加总和，然后返回之。

代码：

class Solution { public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { int n = triangle.size(); // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。 int[][] dp = new int[n + 1][n + 1]; // 从三角形的最后一行开始递推。 for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= i; j++) { dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j); } } return dp[0][0]; } }

时间复杂度： $O(n^2)$ 空间复杂度： $O(n^2)$

版本2

思路：

同上，只是这里对数组进行了复用，降低了空间复杂度。

代码：

class Solution { public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) { int n = triangle.size(); int[] dp = new int[n + 1]; for (int i = n - 1; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= i; j++) { dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j); } } return dp[0]; } }

时间复杂度： $O(n^2)$ 空间复杂度： $O(n)$

三、参考

1、递归 + 记忆化 + DP，🤷‍♀️ 必须秒懂！ 2、7 lines neat Java Solution