蓝桥杯 买不到的数目【数论】

题目链接：1205. 买不到的数目

小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式 两个正整数 n,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式 一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围 2≤n,m≤1000，保证数据一定有解。

输入样例： 4 7

输出样例： 17

解法：

可以先暴力枚举打表，然后找规律

//暴力枚举 #include <iostream> using namespace std; int res, p, q; bool dfs(int m, int p, int q) { if(m == 0) return true; if(m >= p && dfs(m - p, p, q)) return true; if(m >= q && dfs(m - q, p, q)) return true; return false; } int main() { cin>>p>>q; for(int i = 1; i < 1000; i++) { if(!dfs(i, p, q)) res = i; } cout<<res; return 0; }

正确解答：

本题中p和q一定互质，因为根据裴蜀定理，如果p和q不互质，则一定存在整数x和y，使得xp + yq为m的倍数。

本题的结论：如果 a,b 均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0 不能凑出的最大数是 (a−1)(b−1)−1。

证明可参考：AcWing 525. 小凯的疑惑

#include <iostream> using namespace std; int p, q; int main() { cin>>p>>q; cout<<(p - 1) * (q - 1) - 1; return 0; }