任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）
p ( x ) = a n ( x − z 1 ) ( x − z 2 ) ( x − z 3 ) … ( x − z 1 ) , z i ∈ C {\color{Purple}p (x) = a _{n}(x-z_{1}) (x-z_{2})(x-z_{3})\dots (x-z_{1}),z_{i}\in C } p(x)=an(x−z1)(x−z2)(x−z3)…(x−z1),zi∈C p(x) 的复根必是成对出现的，即若 a+bi是根，则其共轭a-bi 也是。 由此可知: [ x − ( a + b i ) ] × [ x − ( a − b i ) ] = x 2 − 2 a x + ( a 2 + b 2 ) [x-(a+bi)]\times [x-(a-bi)]= x^2-2ax+(a^2+b^2) [x−(a+bi)]×[x−(a−bi)]=x2−2ax+(a2+b2) 故任意多项式必可写成一次或二次实系数因子的乘积。
设有二次多项式 g ( s ) = s 2 + a s + b g(s)=s^2+as+b g(s)=s2+as+b 对其取共轭的结果为： ( s 2 + a s + b ) ∗ = ( s 2 ) ∗ + a s ∗ + b (s^2+as+b)^{\ast } =(s^2)^{*}+as^{*}+b (s2+as+b)∗=(s2)∗+as∗+b 整理该式，可得： ( s 2 ) ∗ = ( s × s ) ∗ = s ∗ ⋅ s ∗ = ( s ∗ ) 2 即 ： ( s 2 + a s + b ) ∗ = ( s 2 ) ∗ + a s ∗ + b = ( s ∗ ) 2 + a s ∗ + b 即 ： g ( s ) ∗ = g ( s ∗ ) (s^2)^{*}=(s\times s)^{*}=s^{*}\cdot s^{*}= (s^{*})^2 \\即：(s^2+as+b)^{\ast } =(s^2)^{*}+as^{*}+b= (s^{*})^2+as^{*}+b \\即：g(s)^{*}=g(s^{*}) (s2)∗=(s×s)∗=s∗⋅s∗=(s∗)2即：(s2+as+b)∗=(s2)∗+as∗+b=(s∗)2+as∗+b即：g(s)∗=g(s∗) 其实，上述结论对所有的实系数多项式均成立，证明同理 如果一个多项式为实系数多项式，那么对它取共轭只需要将s变量换为s*即可
假 设 一 控 制 系 统 如 上 图 所 示 ， 则 闭 环 传 递 函 数 可 以 表 示 为 ： G c l ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) F ( s ) , 考 虑 闭 环 传 递 函 数 的 极 点 ， 则 有 1 + G ( s ) F ( s ) = 0 {\color{Blue} 假设一控制系统如上图所示，则闭环传递函数可以表示为：} \\ {\color{Blue}G_{cl}(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)F(s)},考虑闭环传递函数的极点，则有} \\{\color{Red} {1+G(s)F(s)}=0} 假设一控制系统如上图所示，则闭环传递函数可以表示为：Gcl(s)=1+G(s)F(s)G(s),考虑闭环传递函数的极点，则有1+G(s)F(s)=0 其中，G(s)F(s)为实系数多项式，由代数学基本定理可知， 该项一定能分解为一个一次或二次实系数因子的乘积,故可以将F(s)G(s)写成如下的形式：
1 + K ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z n ) = 0 其 中 ， p 是 开 环 传 递 函 数 的 极 点 ， z 是 开 环 传 递 函 数 的 零 点 上 式 可 进 一 步 整 理 为 ： ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n ) + K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z n ) = 0 \\1+K\frac{(s-p_{1})(s-p_{2})\dots(s-p_{n})}{(s-z_{1})(s-z_{2})\dots(s-z_{n})}=0 \\其中，p是开环传递函数的极点，z是开环传递函数的零点 \\上式可进一步整理为： \\(s-p_{1})(s-p_{2})\dots(s-p_{n})+K(s-z_{1})(s-z_{2})\dots(s-z_{n})=0 1+K(s−z1)(s−z2)…(s−zn)(s−p1)(s−p2)…(s−pn)=0其中，p是开环传递函数的极点，z是开环传递函数的零点上式可进一步整理为：(s−p1)(s−p2)…(s−pn)+K(s−z1)(s−z2)…(s−zn)=0 这里面，我们将共轭的极点和零点重新整理成二次多项式的形式，此时，K与s的函数为一实系数的复变函数，这里我们假设零点和极点中都只有一对共轭极点，这样，特征方程可以整理成： ( s − p 1 ) ( s − p 2 ) … ( s − p n − 2 ) ( s 2 + a s + b ) + K ( s − z 1 ) ( s − z 2 ) … ( s − z n − 2 ) ( s 2 + c s + d ) = 0 (s-p_{1})(s-p_{2})\dots(s-p_{n-2})(s^2+as+b)+K(s-z_{1})(s-z_{2})\dots(s-z_{n-2})(s^2+cs+d)=0 (s−p1)(s−p2)…(s−pn−2)(s2+as+b)+K(s−z1)(s−z2)…(s−zn−2)(s2+cs+d)=0 由引理2及复数的共轭运算性质 对上述等式取共轭运算，相当于将上述等式中所有s换成s* 即满足： 1 + G ( s ∗ ) F ( s ∗ ) = 0 {\color{Red} {1+G(s^{*})F(s^{*})}=0} 1+G(s∗)F(s∗)=0 由上下两个红色等式可知：复闭环极点共轭成对出现，根轨迹关于实轴对称。
