忽略多次散射和发射的普遍不带坐标辐射传输方程求解

$\frac{d{I}_{\lambda }}{k_{\lambda }\rho ds}=-I_{\lambda }$

以上，就是在忽略多次散射和发射的增量贡献时的比尔-布格-朗伯定律，$k_{\lambda }$为质量消光截面，为每单位质量的消光面积，为质量吸收截面和质量散射截面之和，单位是 $c{m}^{-1}$. $\rho$为物质密度，二者之积为消光系数。

如果单个粒子的消光截面表示为${\sigma }_e$，单位体积的粒子数密度为$N$，则消光系数也可以表示为${\sigma }_{e}N$，可替换上述公式中的$k_{\lambda }\rho$.

下面，求解上述微分方程：

(1)上述公式变形为： $\frac{d{I}_{\lambda }}{ds}=-k\rho I_{\lambda }$ 形如$\frac{dy}{dx}=f(x)\ast g(y)$的一阶微分方程，属于变量可分离的一阶微分方程。利用变量可分离的一阶微分方程解法进行求解。

(2)$\frac{d{I}_{\lambda }}{I_{\lambda }}=-k\rho ds$，对等式左右两边进行积分，积分下限和上限分别为0,$s_1$，则有： ${\int }_0^{s_1}\frac{1}{I_{\lambda }}d{I}_{\lambda }={\int }_0^{s_1}-k\rho ds$ $ln{I}_{\lambda }{\mid }_0^{s_1}={\int }_0^{s_1}-k\rho ds$ $ln{I}_{\lambda }(s_1)-ln{I}_{\lambda }(0)={\int }_0^{s_1}-k\rho ds$ $ln\frac{I_{\lambda }(s_1)}{I_{\lambda }(0)}={\int }_0^{s_1}-k\rho ds$

(3)对上式左右两侧同取自然底数，化简，得： $\frac{I_{\lambda }(s_1)}{I_{\lambda }(0)}=e^{{\int }_0^{s_1}-k\rho ds}$

(4)上式化简，即得：

$I_{\lambda }(s_1)=I_{\lambda }(0)e^{{\int }_0^{s_1}-k\rho ds}$

$人生苦短，得用LaTeX$.

$2020.10.0821:00$