https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/106039576
球 表 面 积 公 式 ： S = 球 体 积 公 式 ： V = 圆 锥 体 积 公 式 ： V = 椭 圆 面 积 公 式 ： S = 扇 形 面 积 公 式 ： S = （ 其 中 l 为 弧 长 ， r 为 半 径 ， θ 为 夹 角 ( 用 π 表 示 ) ） \begin{aligned} & \\ & 球表面积公式：S= \\ \\ & 球体积公式：V = \\ \\ & 圆锥体积公式：V= \\\\ & 椭圆面积公式： S= \\ \\ & 扇形面积公式： S= ~~~~~（其中l为弧长，r为半径，\theta为夹角(用\pi表示)） \end{aligned} 球表面积公式：S=球体积公式：V=圆锥体积公式：V=椭圆面积公式：S=扇形面积公式：S= （其中l为弧长，r为半径，θ为夹角(用π表示)）
一 元 二 次 方 程 ： 根 的 公 式 ： 韦 达 定 理 ： x 1 + x 2 = x 1 x 2 = 判 别 式 ： Δ = b 2 − 4 a c ⟹ { Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 抛 物 线 y = a x 2 + b x + c 的 顶 点 ： ( ) \begin{aligned} & \\ & 一元二次方程： \\ \\ & 根的公式： ~~~~ \\ \\ & 韦达定理： x_1 + x_2 = ~~~~~~~ x_1 x_2 = \\ \\ & 判别式： \Delta=b^2 - 4ac \implies \begin{cases} \Delta >0 \\ \Delta =0 \\ \Delta <0 \\ \end{cases} \\\\ & 抛物线~ y=ax^2 + bx + c 的顶点：() \end{aligned} 一元二次方程：根的公式： 韦达定理：x1+x2= x1x2=判别式：Δ=b2−4ac⟹⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0Δ=0Δ<0抛物线 y=ax2+bx+c的顶点：()
直 角 坐 标 化 极 坐 标 { x = y = ⟹ x 2 + y 2 = 极 坐 标 化 直 角 坐 标 ： ρ 2 = x 2 + y 2 ⟹ tan θ = \begin{aligned} &直角坐标化极坐标 \begin{cases} x = \\ y = \end{cases} \implies x^2+y^2= \\\\ &极坐标化直角坐标 ：\rho ^2 = x^2+y^2 \implies \tan \theta = \\\\ \end{aligned} 直角坐标化极坐标{x=y=⟹x2+y2=极坐标化直角坐标：ρ2=x2+y2⟹tanθ=
切 线 方 程 ： 法 线 方 程 ： \begin{aligned} & 切线方程： \\ \\ & 法线方程： \end{aligned} 切线方程：法线方程：
( a + b ) 2 = ( a − b ) 2 = ( a + b ) 3 = ( a − b ) 3 = ( a + b ) ( a − b ) = a 3 + b 3 = a 3 − b 3 = a n − b n = ( a + b ) n = \begin{aligned} & \\ & (a+b)^2 = \\ \\ & (a-b)^2 = \\ \\ & (a+b)^3 = \\ \\ & (a-b)^3 = \\ \\ & (a+b)(a-b) = \\ \\ & a^3 + b^3 = \\ \\ & a^3-b^3 = \\ \\ & a^n-b^n = \\ \\ & (a+b)^n = \end{aligned} (a+b)2=(a−b)2=(a+b)3=(a−b)3=(a+b)(a−b)=a3+b3=a3−b3=an−bn=(a+b)n=
n ! = ( 规 定 0 ! = ？ ) ( 2 n ) ! ! = ( 2 n − 1 ) ! ! = \begin{aligned} & n! = ~~~~~(规定0!=？) \\ \\ & (2n)!! = \\ \\ & (2n-1)!! = \end{aligned} n!= (规定0!=？)(2n)!!=(2n−1)!!=
定 义 在 [ − a , a ] 上 的 任 一 函 数 ， 可 以 表 示 为 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和 ： f ( x ) = \begin{aligned} & 定义在[-a,a]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和： \\ \\ & f(x) = \end{aligned} 定义在[−a,a]上的任一函数，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和：f(x)=
A n m = C n m = \begin{aligned} A_n^m & = \\\\ C_n^m & = \end{aligned} AnmCnm==
a n = S n = S n = \begin{aligned} & a_n = \\ \\ & S_n = \\ \\ & S_n = \\ \\ \end{aligned} an=Sn=Sn=
a n = S n = \begin{aligned} & a_n = \\ \\ & S_n = \end{aligned} an=Sn=
∑ k = 1 n k = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + n 2 = ∑ k = 1 n k 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯ + n ( n + 1 ) = ∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) = \begin{aligned} & \\ & \sum_{k=1}^n k = 1 + 2+3+\cdots + n= \\ \\ & \sum_{k=1}^n (2k-1) = 1+ 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = \\ \\ & \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 = \\ \\ & \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 +3^3 +\cdots + n^3 = \\ \\ & \sum_{k=1}^n k(k+1) = 1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \cdots + n(n+1) = \\\\ & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} = \end{aligned} k=1∑nk=1+2+3+⋯+n=k=1∑n(2k−1)=1+3+5+⋯+(2n−1)=k=1∑nk2=12+22+32+⋯+n2=k=1∑nk3=13+23+33+⋯+n3=k=1∑nk(k+1)=1×2+2×3+3×4+⋯+n(n+1)=k=1∑nk(k+1)1=1×21+2×31+3×41+⋯+n(n+1)1=
? ≤ a 2 + b 2 ? ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ? ≤ ∣ a − b ∣ ? ≤ ∣ a 1 ∣ + ∣ a 2 ∣ + ⋅ ⋅ ⋅ + ∣ a n ∣ ? ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ( a < b ) a b ? a + b 2 ? a 2 + b 2 2 ( a , b > 0 ) a b c 3 ? a + b + c 3 ? a 2 + b 2 + c 2 3 ( a , b , c > 0 ) ? a 1 + a 2 + . . . + a n n ? ? x p p + x q q ( a c + b d ) 2 ? ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 ? ( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 ) [ ∫ a b f ( x ) ⋅ g ( x ) d x ] 2 ≤ sin x ? x ? tan x ( 0 < x < π 2 ) arctan x ? x ? arcsin x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) x + 1 ? e x ln x ? x − 1 ? < ln ( 1 + 1 x ) < ? ( x > 0 ) \begin{aligned} & \\ & ? \le a ^ 2 + b^2 \\ \\ & ? \le |a| + |b| \\ \\ & ? \le |a-b| \\ \\ & ? \le |a_1| + |a_2| + \cdot\cdot\cdot + |a_n| \\ \\ & ? \le \int_a^b |f(x)| dx ~~~~~(a<b) \\ \\ & \sqrt{ab} ~~~?~~~ \frac{a+b}{2} ~~~?~~~ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} ~~~~~(a,b>0) \\ \\ & \sqrt[3]{abc} ~~~?~~~ \frac{a+b+c}{3} ~~~?~~~ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} ~~~~~(a,b,c>0) \\ \\ & ~~~?~~~ \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} ~~~?~~~\\ \\ & ~~~?~~~ \frac{x^p}{p} + \frac{x^q}{q} \\ \\ & (ac+bd)^2 ~~~?~~~ (a^2+b^2)(c^2+d^2) \\ \\ & (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 ~~~?~~~ ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \\ \\ & [\int_a^b f(x)\cdot g(x) dx]^2 \le \\ \\ & \sin x ~~~?~~~x ~~~?~~~ \tan x ~~~~~(0<x<\frac{\pi}{2}) \\ \\ & \arctan x ~~~?~~~ x ~~~?~~~ \arcsin x ~~~~~(0\le x \le 1) \\ \\ & x+1 ~~~?~~~ e^x \\ \\ & \ln x ~~~?~~~ x-1 \\ \\ & ? < \ln (1+\frac{1}{x}) < ? ~~~~~(x>0) \end{aligned} ?≤a2+b2?≤∣a∣+∣b∣?≤∣a−b∣?≤∣a1∣+∣a2∣+⋅⋅⋅+∣an∣?≤∫ab∣f(x)∣dx (a<b)ab ? 2a+b ? 2a2+b2 (a,b>0)3abc ? 3a+b+c ? 3a2+b2+c2 (a,b,c>0) ? na1+a2+...+an ? ? pxp+qxq(ac+bd)2 ? (a2+b2)(c2+d2)(a1b1+a2b2+a3b3)2 ? (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)[∫abf(x)⋅g(x)dx]2≤sinx ? x ? tanx (0<x<2π)arctanx ? x ? arcsinx (0≤x≤1)x+1 ? exlnx ? x−1?<ln(1+x1)<? (x>0)
sin ( − α ) = cos ( − α ) = sin ( π 2 − α ) = cos ( π 2 − α ) = sin ( π 2 + α ) = cos ( π 2 + α ) = sin ( π − α ) = cos ( π − α ) = sin ( π + α ) = cos ( π + α ) = \begin{aligned} & \sin (-\alpha) = \\ \\ & \cos (-\alpha) = \\ \\ & \sin (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \\ \\ & \cos (\frac{\pi}{2} - \alpha) = \\ \\ & \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \\ \\ & \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \\ \\ & \sin (\pi - \alpha) = \\ \\ & \cos (\pi - \alpha) = \\ \\ & \sin (\pi + \alpha) = \\ \\ & \cos (\pi + \alpha) = \\ \\ \\ \end{aligned} sin(−α)=cos(−α)=sin(2π−α)=cos(2π−α)=sin(2π+α)=cos(2π+α)=sin(π−α)=cos(π−α)=sin(π+α)=cos(π+α)=
1 + tan 2 α = 1 + cot 2 α = sin 2 α + cos 2 α = \begin{aligned} & \\ & 1 + \tan ^2 \alpha = \\ \\ & 1 + \cot^2 \alpha = \\ \\ & \sin^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = \end{aligned} 1+tan2α=1+cot2α=sin2α+cos2α=
sin ( α + β ) = cos ( α + β ) = sin ( α − β ) = cos ( α − β ) = tan ( α + β ) = tan ( α − β ) = \begin{aligned} & \sin (\alpha + \beta) = \\ \\ & \cos (\alpha + \beta) = \\ \\ & \sin (\alpha - \beta) = \\ \\ & \cos (\alpha - \beta) = \\ \\ & \tan (\alpha + \beta) = \\ \\ & \tan (\alpha - \beta) = \end{aligned} sin(α+β)=cos(α+β)=sin(α−β)=cos(α−β)=tan(α+β)=tan(α−β)=
cos α cos β = cos α sin β = sin α cos β = sin α sin β = \begin{aligned} & \cos \alpha \cos \beta = \\ \\ & \cos \alpha \sin \beta = \\ \\ & \sin \alpha \cos \beta = \\ \\ & \sin \alpha \sin \beta = \end{aligned} cosαcosβ=cosαsinβ=sinαcosβ=sinαsinβ=
sin α + sin β = sin α − sin β = cos α + cos β = cos α − cos β = \begin{aligned} & \sin \alpha + \sin \beta = \\ \\ & \sin \alpha - \sin \beta = \\ \\ & \cos \alpha + \cos \beta = \\ \\ & \cos \alpha - \cos \beta = \end{aligned} sinα+sinβ=sinα−sinβ=cosα+cosβ=cosα−cosβ=
sin 2 α = cos 2 α = sin 3 α = cos 3 α = sin 2 α = cos 2 α = tan 2 α = cot 2 α = \begin{aligned} & \sin 2\alpha = \\ \\ & \cos 2\alpha = \\ \\ & \sin 3\alpha = \\ \\ & \cos 3 \alpha = \\ \\ & \sin^2 \alpha = \\ \\ & \cos^2 \alpha = \\ \\ & \tan 2\alpha = \\ \\ & \cot 2\alpha = \end{aligned} sin2α=cos2α=sin3α=cos3α=sin2α=cos2α=tan2α=cot2α=
sin 2 α 2 = cos 2 α 2 = sin α 2 = cos α 2 = tan α 2 = cot α 2 = \begin{aligned} & \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \sin \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \cos \frac{\alpha}{2} =\\ \\ & \tan \frac{\alpha}{2} = \\ \\ & \cot \frac{\alpha}{2} = \end{aligned} sin22α=cos22α=sin2α=cos2α=tan2α=cot2α=
sin α = cos α = \begin{aligned} & \sin \alpha = \\ \\ & \cos \alpha = \end{aligned} sinα=cosα=
1 + sin α = 1 − sin α = \begin{aligned} & 1 + \sin \alpha = \\ \\ & 1 - \sin \alpha = \end{aligned} 1+sinα=1−sinα=
arcsin x + arccos x = arctan x + a r c c o t x = sin ( arccos x ) = cos ( arcsin x ) = sin ( arcsin x ) = arcsin ( sin x ) = cos ( arccos x ) = arccos ( cos x ) = arccos ( − x ) = \begin{aligned} & \arcsin x + \arccos x = \\ \\ & \arctan x + arccot ~x= \\ \\ & \sin(\arccos x) = \\ \\ & \cos(\arcsin x) = \\ \\ & \sin(\arcsin x) = \\ \\ & \arcsin (\sin x) = \\ \\ & \cos (\arccos x) = \\ \\ & \arccos (\cos x) = \\ \\ & \arccos (-x) = \end{aligned} arcsinx+arccosx=arctanx+arccot x=sin(arccosx)=cos(arcsinx)=sin(arcsinx)=arcsin(sinx)=cos(arccosx)=arccos(cosx)=arccos(−x)=
a n + 1 = f ( a n ) 结 论 一 ： f ′ ( x ) > 0 ， { a 2 > a 1 ⟹ { a n } 单 调 递 ？ a 2 < a 1 ⟹ { a n } 单 调 递 ？ 结 论 二 （ 压 缩 映 像 原 理 ） ： ？ \begin{aligned} & a_{n+1} = f(a_n) \\\\ 结论一： & f'(x) > 0 ， \begin{cases} a_2 > a_1 \implies \{ a_n \} 单调递？ \\ a_2 < a_1 \implies \{ a_n \} 单调递？ \end{cases} \\\\ 结论二（压缩映像原理）：？ \end{aligned} 结论一：结论二（压缩映像原理）：？an+1=f(an)f′(x)>0，{a2>a1⟹{an}单调递？a2<a1⟹{an}单调递？
lim x → 0 + x α ln x = lim x → 0 + x α ( ln x ) k = lim x → + ∞ x α e − δ x = lim x → 0 sin x x = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = lim n → ∞ n n = lim n → ∞ a n = \begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = \\\\ & \lim_{x \to 0^+} x^\alpha (\ln x)^k = \\\\ & \lim_{x \to +\infty} x^\alpha e^{-\delta x} = \\\\ & \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \\ \\ & \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \\\\ & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \\\\ & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \\\\ \end{aligned} x→0+limxαlnx=x→0+limxα(lnx)k=x→+∞limxαe−δx=x→0limxsinx=x→0lim(1+x)x1=n→∞limnn =n→∞limna =
x → 0 时 ， x ∼ ? ? ? ? ? ? ? , 1 − cos x ∼ ? , ( 1 + x ) a − 1 ∼ ? , a x − 1 ∼ ? \begin{aligned} & x \to 0 时，\\\\ & x \sim??????? ~~,~~ 1- \cos x \sim ? ~~, \\ \\ & (1+x)^a - 1 \sim ? ~~,~~ a^x - 1 \sim ? \end{aligned} x→0时，x∼??????? , 1−cosx∼? ,(1+x)a−1∼? , ax−1∼?
lim u v = e ? \lim u^v = e^? limuv=e?
f ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) = \begin{aligned} & f'(x_0) = \\\\ & f'(x_0) = \end{aligned} f′(x0)=f′(x0)=
Δ y = Δ y = A Δ x = \begin{aligned} & \Delta y = \\ \\ & \Delta y = \\ \\ & A\Delta x = \end{aligned} Δy=Δy=AΔx=
[ u ( x ) ± v ( x ) ] ′ = [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = [ u ( x ) v ( x ) w ( x ) ] ′ = [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = \begin{aligned} & [u(x) \pm v(x)]' = \\ \\ & [u(x)v(x)]' = \\ \\ & [u(x)v(x)w(x)]' = \\ \\ & \begin{bmatrix}\frac{u(x)}{v(x)} \end{bmatrix}' = \\ \\ \end{aligned} [u(x)±v(x)]′=[u(x)v(x)]′=[u(x)v(x)w(x)]′=[v(x)u(x)]′=
{ f [ g ( x ) ] } ′ = \{ f[g(x)] \}' = {f[g(x)]}′=
y = f ( x ) , x = φ ( y ) ⟹ φ ′ ( y ) = y x ′ = y x x ′ ′ = \begin{aligned} & y = f(x), x = \varphi(y) \implies \varphi ' (y) = \\ \\ & y'_x = \\ \\ & y^{''}_{xx} = \end{aligned} y=f(x),x=φ(y)⟹φ′(y)=yx′=yxx′′=
{ x = φ ( t ) y = ψ ( t ) d y d x = d 2 y d x 2 = \begin{aligned} & \begin{cases} x = \varphi (t) \\ y = \psi (t) \end{cases} \\\\ & \frac{dy}{dx} = \\ \\ & \frac{d^2 y}{dx^2} = \end{aligned} {x=φ(t)y=ψ(t)dxdy=dx2d2y=
设 F ( x ) = ∫ φ 1 ( x ) φ 2 ( x ) f ( t ) d t , 则 F ′ ( x ) = \begin{aligned} & 设 F(x) = \int ^{\varphi_2(x)}_{\varphi_1(x)} f(t) dt, 则 \\ \\ & F'(x) = \end{aligned} 设F(x)=∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt,则F′(x)=
( x a ) ′ = ( a x ) ′ = ( e x ) ′ = ( l o g a x ) ′ = ( ln x ) ′ = ( sin x ) ′ = ( cos x ) ′ = ( arcsin x ) ′ = ( arccos x ) ′ = ( tan x ) ′ = ( cot x ) ′ = ( arctan x ) ′ = ( a r c c o t x ) ′ = ( sec x ) ′ = ( csc x ) ′ = [ ln ( x + x 2 + 1 ) ] ′ = [ ln ( x + x 2 − 1 ) ] ′ = \begin{aligned} & (x^a)' = \\ \\ & (a^x)' = \\ \\ & (e^x)' = \\ \\ & (log_a x)' = \\ \\ & (\ln x)' = \\ \\ & (\sin x)' = \\ \\ & (\cos x)' = \\ \\ & (\arcsin x)' = \\ \\ & (\arccos x)' = \\ \\ & (\tan x)' = \\ \\ & (\cot x)' = \\ \\ & (\arctan x)' = \\ \\ & (arccot ~ x)' = \\ \\ & (\sec x)' = \\ \\ & (\csc x)' = \\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2+1})]' = \\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2-1})]' = \\ \\ \end{aligned} (xa)′=(ax)′=(ex)′=(logax)′=(lnx)′=(sinx)′=(cosx)′=(arcsinx)′=(arccosx)′=(tanx)′=(cotx)′=(arctanx)′=(arccot x)′=(secx)′=(cscx)′=[ln(x+x2+1 )]′=[ln(x+x2−1 )]′=
[ u ± v ] ( n ) = [u \pm v ]^{(n)} = [u±v](n)= ( u v ) ( n ) = \begin{aligned} (uv)^{(n)} & = \\ \end{aligned} (uv)(n)=
( a x ) ( n ) = ( e x ) ( n ) = ( sin k x ) ( n ) = ( cos k x ) ( n ) = ( ln x ) ( n ) = [ ln ( 1 + x ) ] ( n ) = [ ( x + x 0 ) m ] ( n ) = ( 1 x + a ) ( n ) = \begin{aligned} & (a^x)^{(n)} = \\ \\ & (e^x)^{(n)} = \\ \\ & (\sin kx)^{(n)} = \\ \\ & (\cos kx)^{(n)} = \\ \\ & (\ln x) ^ {(n)} = \\ \\ & [\ln(1+x)]^{(n)} = \\ \\ & [(x+x_0)^m]^{(n)} = \\ \\ & (\frac{1}{x+a})^{(n)} = \\ \\ \end{aligned} (ax)(n)=(ex)(n)=(sinkx)(n)=(coskx)(n)=(lnx)(n)=[ln(1+x)](n)=[(x+x0)m](n)=(x+a1)(n)=
{ 1. f ′ ( x ) 左 右 异 号 ⟹ { 左 正 右 负 ⟹ 极 ? 值 左 负 右 正 ⟹ 极 ? 值 2. f ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ( x ) ≠ 0 ⟹ { f ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ 极 ? 值 f ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ 极 ? 值 3. f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 ， f ( n ) ( x ) ≠ 0 ， n 为 ? 数 ⟹ { f ( n ) ( x ) < 0 ⟹ 极 ? 值 f ( n ) ( x ) > 0 ⟹ 极 ? 值 \begin{cases} 1.~~f'(x)左右异号 \implies \begin{cases} 左正右负 \implies 极?值 \\ 左负右正 \implies 极?值 \end{cases} \\ \\ 2.~~f'(x)=0, f''(x)\ne 0 \implies \begin{cases} f''(x) < 0 \implies 极?值 \\ f''(x)>0 \implies 极?值 \end{cases} \\ \\ 3. ~~f''(x) 到 f^{(n-1)}(x)=0 ，f^{(n)}(x) \ne 0， n为?数 \implies \begin{cases} f^{(n)}(x) < 0 \implies 极?值 \\ f^{(n)}(x) > 0 \implies 极?值 \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1. f′(x)左右异号⟹{左正右负⟹极?值左负右正⟹极?值2. f′(x)=0,f′′(x)=0⟹{f′′(x)<0⟹极?值f′′(x)>0⟹极?值3. f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)=0，n为?数⟹{f(n)(x)<0⟹极?值f(n)(x)>0⟹极?值
1. { f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ⟹ ? f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ⟹ ? 2. { f ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ ? f ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ ? \begin{aligned} 1.&\begin{cases} f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \implies ? \\\\ f(\frac{x_1+x_2}{2}) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \implies ? \end{cases} \\\\ 2.&\begin{cases} f''(x) > 0 \implies ? \\\\ f''(x) < 0 \implies ? \end{cases} \end{aligned} 1.2.⎩⎪⎨⎪⎧f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)⟹?f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)⟹?⎩⎪⎨⎪⎧f′′(x)>0⟹?f′′(x)<0⟹?
{ 1. f ′ ′ ( x ) 左 右 异 号 ⟹ { 左 负 右 正 ⟹ ? 左 正 右 负 ⟹ ? 2. f ′ ′ ( x ) = 0 , f ′ ′ ′ ( x ) ≠ 0 ⟹ { f ′ ′ ′ ( x ) < 0 ⟹ ? f ′ ′ ′ ( x ) > 0 ⟹ ? 3. f ′ ′ ( x ) 到 f ( n − 1 ) ( x ) = 0 ， f ( n ) ( x ) ≠ 0 ， n 为 ? 数 ⟹ { f ( n ) ( x ) < 0 ⟹ ? f ( n ) ( x ) > 0 ⟹ ? \begin{cases} 1.~~f''(x)左右异号 \implies \begin{cases} 左负右正 \implies ? \\ 左正右负 \implies ? \end{cases} \\ \\ 2.~~f''(x)=0, f'''(x)\ne 0 \implies \begin{cases} f'''(x) < 0 \implies ? \\ f'''(x)>0 \implies ? \end{cases} \\ \\ 3. ~~f''(x) 到 f^{(n-1)}(x)=0 ，f^{(n)}(x) \ne 0， n为?数 \implies \begin{cases} f^{(n)}(x) < 0 \implies ? \\ f^{(n)}(x) > 0 \implies ? \end{cases} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧1. f′′(x)左右异号⟹{左负右正⟹?左正右负⟹?2. f′′(x)=0,f′′′(x)=0⟹{f′′′(x)<0⟹?f′′′(x)>0⟹?3. f′′(x)到f(n−1)(x)=0，f(n)(x)=0，n为?数⟹{f(n)(x)<0⟹?f(n)(x)>0⟹?
lim x → ? ? = a lim x → ? ( ? ) = b ⟹ 斜 渐 近 线 为 ： y = a x + b \lim_{x \to ?} ? = a ~~~~\lim_{x \to ?}(?) = b \implies 斜渐近线为： y=ax+b x→?lim?=a x→?lim(?)=b⟹斜渐近线为：y=ax+b
密 切 圆 半 径 r = ? 曲 率 K = ? 曲 率 圆 ? \begin{aligned} 密切圆半径 ~~~~~ & r = ? \\ \\ 曲率 ~~~~~ &K = ? \\ \\ 曲率圆 ~~~~~& ? \end{aligned} 密切圆半径 曲率 曲率圆 r=?K=??
∫ a b f ( x ) d x = ? 常 用 ： ∫ 0 1 f ( x ) d x = ? ∫ 0 k f ( x ) d x = ? 二 重 定 积 分 精 确 定 义 ： ∬ D f ( x , y ) d σ = ? 常 用 ： ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y = ? \begin{aligned} & \int_a^b f(x) dx = ? \\ \\ \\ 常用：& \int_0^1 f(x) dx = ? \\ \\ & \int_0^k f(x) dx = ? \\ \\ \\ 二重定积分精确定义：& \iint\limits_D f(x,y) d\sigma = ? \\ \\ \\ 常用：&\int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dxdy = ? \end{aligned} 常用：二重定积分精确定义：常用：∫abf(x)dx=?∫01f(x)dx=?∫0kf(x)dx=?D∬f(x,y)dσ=?∫01∫01f(x,y)dxdy=?
∫ u d v = ? ∫ u v ( n + 1 ) d x = ? \begin{aligned} & \int u dv = ? \\ & \int uv^{(n+1)}dx = ? \end{aligned} ∫udv=?∫uv(n+1)dx=?
? ? ?
∫ a b f ( x ) d x = ? \int_a^b f(x) dx = ? ∫abf(x)dx=?
？ ？ ？
∫ 1 + ∞ 1 x p d x ⟹ ? ∫ 0 1 1 x p d x ⟹ ? \begin{aligned} & \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \implies ? \\\\ & \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx \implies & ? \\\\ \end{aligned} ∫1+∞xp1dx⟹?∫01xp1dx⟹?
以 下 公 式 中 ， α 与 a 均 为 常 数 ， 除 声 明 者 外 ， a > 0 ∫ x α d x = ? ∫ 1 x d x = ? ∫ a x d x = ? ∫ e x d x = ? ∫ sin x d x = ? ∫ cos x d x = ? ∫ tan x d x = ? ∫ cot x d x = ? ∫ sec x d x = ? ∫ csc x d x = ? ∫ sec 2 x d x = ? ∫ csc 2 x d x = ? ∫ 1 a 2 + x 2 d x = ? ∫ 1 a 2 − x 2 d x = ? ∫ 1 a 2 − x 2 d x = ？ ∫ 1 x 2 ± a 2 d x = ？ \begin{aligned} & 以下公式中，\alpha 与 a 均为常数，除声明者外，a>0 \\ \\ & \int x^\alpha dx = ? \\ \\ & \int \frac{1}{x} dx =?\\ \\ & \int a^x dx =? \\ \\ & \int e^x dx = ? \\ \\ & \int \sin x dx =? \\ \\ & \int \cos x dx =? \\ \\ & \int \tan x dx = ? \\ \\ & \int \cot xdx =? \\ \\ & \int \sec x dx =? \\ \\ & \int \csc x dx =? \\ \\ & \int \sec ^2 x dx = ? \\ \\ & \int \csc^2x dx = ? \\ \\ & \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = ? \\ \\ & \int \frac{1}{a^2-x^2} dx =? \\ \\ & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx =？ \\ \\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = ？ \end{aligned} 以下公式中，α与a均为常数，除声明者外，a>0∫xαdx=?∫x1dx=?∫axdx=?∫exdx=?∫sinxdx=?∫cosxdx=?∫tanxdx=?∫cotxdx=?∫secxdx=?∫cscxdx=?∫sec2xdx=?∫csc2xdx=?∫a2+x21dx=?∫a2−x21dx=?∫a2−x2 1dx=？∫x2±a2 1dx=？
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = ？ = ？ ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = ？ ∫ − a a f ( x ) d x = ∫ 0 a ？ d x ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = ？ = ？ ∫ a b f ( x ) d x = ？ ∫ 0 1 ？ d x \begin{aligned} & \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = ？ = ？ \\ \\ & \int_{0}^{+\infty} x^n e^{-x} dx = ？ \\ \\ & \int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_0^a ？dx \\ \\ & \int_0^\pi xf(\sin x) dx = ？=？ \\ \\ & \int_a^b f(x) dx = ？ \int_0^1 ？ dx \end{aligned} ∫−∞+∞e−x2dx=？=？∫0+∞xne−xdx=？∫−aaf(x)dx=∫0a？dx∫0πxf(sinx)dx=？=？∫abf(x)dx=？∫01？dx
f ( x ) 在 [ a , b ] 上 的 平 均 值 为 ： ？ f(x) 在[a,b]上的平均值为： ？ f(x)在[a,b]上的平均值为：？
y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) ， 及 x = a ， x = b （ a < b ） 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 ： S = ？ 曲 线 r = r 1 ( θ ) 与 r = r 2 ( θ ) 与 两 射 线 θ = α 与 θ = β （ 0 < β − α ≤ 2 π ） 所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 ： S = ？ \begin{aligned} & y=y_1(x) 与 y=y_2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：\\ \\ & S= ？ \\ \\ \\ & 曲线 r=r_1(\theta) 与 r=r_2(\theta) 与 两射线 \theta = \alpha 与 \theta = \beta （0<\beta - \alpha \le 2\pi）所围成的曲边扇形的面积：\\ \\ & S = ？ \end{aligned} y=y1(x)与y=y2(x)，及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形面积：S=？曲线r=r1(θ)与r=r2(θ)与两射线θ=α与θ=β（0<β−α≤2π）所围成的曲边扇形的面积：S=？
曲 线 y = y ( x ) 与 x = a ， x = b ( a < b ) 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = ？ 曲 线 y = y 1 ( x ) ≥ 0 与 y = y 2 ( x ) ≥ 0 及 x = a ， x = b （ a < b ） 所 围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 的 到 的 旋 转 体 的 体 积 V = ？ 曲 线 y = y ( x ) 与 x = a , x = b （ 0 ≤ a < b ） 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 的 旋 转 体 的 体 积 V y = ？ 曲 线 y = y 1 ( x ) 与 y = y 2 ( x ) 及 x = a ， x = b （ 0 ≤ a ≤ b ） 所 围 成 的 圆 形 绕 y 轴 旋 转 一 周 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 V = ？ \begin{aligned} & 曲线 y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积 \\ \\ & V = ？ \\ \\ \\ & 曲线y=y_1(x) \ge 0 与 y = y_2(x) \ge 0 及 x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积 \\ \\ & V = ？ \\ \\ \\ & 曲线 y=y(x) 与 x=a,x=b（0\le a < b） 及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积 \\ \\ & V_y = ？\\ \\ \\ & 曲线y=y_1(x)与y=y_2(x)及x=a，x=b（0\le a \le b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 \\\\ & V= ？ \end{aligned} 曲线y=y(x)与x=a，x=b(a<b)及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积V=？曲线y=y1(x)≥0与y=y2(x)≥0及x=a，x=b（a<b）所围成的平面图形绕x轴旋转一周所的到的旋转体的体积V=？曲线y=y(x)与x=a,x=b（0≤a<b）及x轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的的旋转体的体积Vy=？曲线y=y1(x)与y=y2(x)及x=a，x=b（0≤a≤b）所围成的圆形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V=？
L = ∫ a b ？ d x L = ∫ α β ？ d t L = ∫ α β ？ d θ \begin{aligned} & L = \int_a^b ？dx \\ \\ & L = \int_\alpha^\beta ？dt \\ \\ & L = \int_\alpha^\beta ？d\theta \end{aligned} L=∫ab？dxL=∫αβ？dtL=∫αβ？dθ
曲 线 y = y ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 曲 线 弧 段 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 曲 面 的 “ 面 积 ” S = ？ d x S = ？ d t \begin{aligned} & 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积” \\\\ & S = ？dx \\ \\ & S = ？dt \end{aligned} 曲线y=y(x)在区间[a,b]上的曲线弧段绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的“面积”S=？dxS=？dt
在 区 间 [ a , b ] 上 ， 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 立 体 Ω 所 得 到 截 面 面 积 为 x 的 连 续 函 数 A ( x ) ， 则 Ω 的 体 积 为 V = ？ \begin{aligned} & 在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体\Omega所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则\Omega的体积为 \\ \\ & V = ？ \end{aligned} 在区间[a,b]上，垂直于x轴的平面截立体Ω所得到截面面积为x的连续函数A(x)，则Ω的体积为V=？
设 力 函 数 为 F ( x ) （ a ≤ x ≤ b ） ， 则 物 体 沿 x 轴 从 点 a 移 动 到 点 b 时 ， 变 力 F ( x ) 所 做 的 功 为 W = ？ \begin{aligned} & 设力函数为F(x) （a\le x \le b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为 \\\\ & W = ？ \end{aligned} 设力函数为F(x)（a≤x≤b），则物体沿x轴从点a移动到点b时，变力F(x)所做的功为W=？
W = ？ \begin{aligned} & W = ？ ~~~~~\\\\ \end{aligned} W=？
P = ? \begin{aligned} & P = ? ~~~~~\\\\ \end{aligned} P=?
x ˉ = \begin{aligned} & \bar{x} = \end{aligned} xˉ=
x ˉ = y ˉ = \begin{aligned} & \bar{x} = \\\\ & \bar{y} = \\\\ \end{aligned} xˉ=yˉ=
x ˉ = y ˉ = \begin{aligned} & \bar{x} = \\\\ & \bar{y} = \\\\ \end{aligned} xˉ=yˉ=
m = ∬ D ? d x d y m = \iint\limits_D ?dxdy m=D∬?dxdy
I x = I y = \begin{aligned} & I_x = & I_y = \end{aligned} Ix=Iy=
浮 力 公 式 ： F 浮 = 压 强 ： P = 压 强 与 气 体 体 积 成 反 比 ： 水 深 h 处 的 压 强 ： P = 在 水 中 的 压 力 ： F 压 = 力 ： F = 做 功 ： W 功 = 引 力 ： F = \begin{aligned} 浮力公式：~~~ & F_{浮} = \\\\ 压强：~~~& P = \\\\ 压强与气体体积成反比：~~~& \\\\ 水深h处的压强：~~~& P=\ \\\\ 在水中的压力：~~~& F_{_压} = \\ \\ 力：~~~& F = \\ \\ 做功：~~~& W_功 = \\\\ 引力：~~~ & F = \end{aligned} 浮力公式： 压强： 压强与气体体积成反比： 水深h处的压强： 在水中的压力： 力： 做功： 引力： F浮=P=P= F压=F=W功=F=
f ( x ) = \begin{aligned} f(x) & = \\ \\ \end{aligned} f(x)=
f ( x ) = f(x) = f(x)=
f ( x ) = f(x) = f(x)=
sin x = cos x = arcsin x = ( 1 + x ) α = 1 1 − x = 1 1 + x = ln ( 1 + x ) = 1 1 + x 2 = arctan x = tan x = e x = \begin{aligned} & \sin x = \\ \\ & \cos x = \\ \\ & \arcsin x = \\ \\ \\ & (1+x)^\alpha =\\ \\ & \frac{1}{1-x} = \\ \\ & \frac{1}{1+x} = \\ \\ & \ln (1+x) = \\ \\ & \frac{1}{1+x^2} = \\ \\ & \arctan x = \\ \\ & \tan x = \\ \\ \\ & e^x = \end{aligned} sinx=cosx=arcsinx=(1+x)α=1−x1=1+x1=ln(1+x)=1+x21=arctanx=tanx=ex=
若 ? 至 多 ? 个 根 ⟹ 至 多 ? 个 根 若?至多?个根 \implies 至多?个根 若?至多?个根⟹至多?个根
f ′ ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) = 0 ⟹ F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∫ 0 x f ( t ) d t = 0 ⟹ F ( x ) = f ′ ( x ) + g ( x ) [ f ( x ) − 1 ] = 0 ⟹ F ( x ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ \begin{aligned} & f''(x) + g(x)f'(x) = 0 \implies F(x) = \\ \\ & f(x) + g(x)\int_0^x f(t)dt = 0 \implies F(x) = \\ \\ & f'(x) + g(x)[f(x)-1] =0 \implies F(x) = \\ \\ & \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot \end{aligned} f′′(x)+g(x)f′(x)=0⟹F(x)=f(x)+g(x)∫0xf(t)dt=0⟹F(x)=f′(x)+g(x)[f(x)−1]=0⟹F(x)=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ⟹ 存 在 η ∈ [ a , b ] , 使 得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( x ) ， g ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 且 g ( x ) 不 变 号 ⟹ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 二 重 积 分 中 值 定 理 ， D 上 连 续 ， A 为 D 的 面 积 ⟹ ∬ D f ( x , y ) d x d y = \begin{aligned} & f(x)在[a,b]上连续 \implies 存在 \eta \in [a,b], 使得 \\ & \int_a^b f(x) dx = \\ \\ \\ & f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号 \implies \\ & \int_a^b f(x)g(x)dx = \\\\\\ & 二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积 \implies \\ & \iint\limits_D f(x,y) dxdy = \end{aligned} f(x)在[a,b]上连续⟹存在η∈[a,b],使得∫abf(x)dx=f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号⟹∫abf(x)g(x)dx=二重积分中值定理，D上连续，A为D的面积⟹D∬f(x,y)dxdy=
定 义 ： Δ z = 全 增 量 ： Δ z = 线 性 增 量 ： 可 微 判 定 ： \begin{aligned} 定义：& \Delta z = \\ \\ 全增量：& \Delta z = \\ \\ 线性增量：& \\ \\ 可微判定：& \end{aligned} 定义：全增量：线性增量：可微判定：Δz=Δz=
∂ z ∂ x = ∂ z ∂ y = \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x} = \\ \\ & \frac{\partial z}{\partial y} = \\ \end{aligned} ∂x∂z=∂y∂z=
∬ D f ( x , y ) d σ = \underset{D}{\iint} f(x,y)d\sigma = D∬f(x,y)dσ=
?
?
?
A = ? \begin{aligned} & \\ & A = ? \end{aligned} A=?
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) 其 中 p ( x ) , q ( x ) 为 连 续 函 数 ⟹ \begin{aligned} & y' + p(x)y = q(x) ~~~~~其中p(x),q(x)为连续函数 \implies \\\\ \end{aligned} y′+p(x)y=q(x) 其中p(x),q(x)为连续函数⟹
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 p , q 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为 λ 2 + p λ + q = 0 ⟹ ? \begin{aligned} & y'' + py' + qy =0 ~~~~~~~~p,q为常数 \\ \\ \xRightarrow{特征方程为} & ~~ \lambda^2 + p\lambda + q = 0 \implies ? \end{aligned} 特征方程为 y′′+py′+qy=0 p,q为常数 λ2+pλ+q=0⟹?
y ′ ′ ′ + p y ′ ′ + q y ′ + r y = 0 p , q , r 为 常 数 ⇒ 特 征 方 程 为 λ 3 + p λ 2 + q λ + r = 0 ⟹ ? \begin{aligned} & y''' + py'' + qy' +ry =0 ~~~~~~~~p,q,r为常数 \\ \\ \xRightarrow{特征方程为} & ~~ \lambda^3 + p\lambda^2 + q\lambda + r = 0 \implies ? \end{aligned} 特征方程为 y′′′+py′′+qy′+ry=0 p,q,r为常数 λ3+pλ2+qλ+r=0⟹?
y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) （ 1 ） 自 由 项 f ( x ) = P n ( x ) e a x 时 ， 特 解 为 y ∗ = ? ( 2 ) 自 由 项 f ( x ) = e a x [ P m ( x ) cos β x + P n ( x ) sin β x ] 时 ， y ∗ = ? \begin{aligned} & y'' + py'+qy = f(x) \\ \\ （1）& 自由项f(x)=P_n(x)e^{ax} ~时，特解为 ~ y^*= ? \\ \\ \\ \\ \\ (2) & 自由项~ f(x) = e^{ax}[P_m(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x] ~时， \\ \\ & y^* = ? \end{aligned} （1）(2)y′′+py′+qy=f(x)自由项f(x)=Pn(x)eax 时，特解为 y∗=?自由项 f(x)=eax[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx] 时，y∗=?
?
∣ A ∣ = ∣ A T ∣ ∣ k A ∣ = ? ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ A i j = ? M i j \begin{aligned} & |A| = |A^T| \\ \\ & |kA| = ? \\ \\ & |AB| = |A||B| \\ \\ & A_{ij} = ?M_{ij} \\ \\ \end{aligned} ∣A∣=∣AT∣∣kA∣=?∣AB∣=∣A∣∣B∣Aij=?Mij
∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 … a n n ∣ = ? ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ∣ 0 … 0 a 1 n 0 … a 2 , n − 1 ⋮ a n 1 ∣ = ∣ a 1 n a 2 , n − 1 0 ⋮ ⋮ a n 1 … 0 0 ∣ = ? ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ? ∣ a b b ⋯ b b a b ⋯ b b b a ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b b b ⋯ a ∣ = ? ∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ O A n × n B m × m O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ∣ C A B O ∣ = \begin{aligned} & \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & \\ \vdots & & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2,n-1} & 0 \\ & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{vmatrix} = ? \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = \\ \\ \\ & \begin{vmatrix} O & A_{n\times n} \\ B_{m\times m} & O \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} O & A \\ B & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = \end{aligned} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮00a22⋮0………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an10a22⋮an2………00⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a110⋮0a12a22⋮0………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1………0a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1……0a2,n−1a1n∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣an1…a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋯bbb⋮a∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=?∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣∣∣∣OBm×mAn×nO∣∣∣∣=∣∣∣∣OBAC∣∣∣∣=∣∣∣∣CBAO∣∣∣∣=
( A T ) T = ( k A ) T = ( A + B ) T = ( A B ) T = A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∗ ∣ = A − 1 = = ∣ A ∣ ( A ∗ ) − 1 ( A − 1 ) − 1 = ( k A ) − 1 = ( A B ) − 1 = ( A T ) − 1 = ( A T ) ∗ = ( A − 1 ) ∗ = ( A B ) ∗ = ( A ∗ ) ∗ = ∣ A − 1 ∣ = [ A ∣ E ] → 初 等 行 变 换 [ E ∣ A − 1 ] [ A ∣ B ] → 初 等 行 变 换 [ E ∣ ? ] \begin{aligned} & (A^T)^T = \\ \\ & (kA)^T = \\ \\ & (A+B)^T = \\ \\ & (AB)^T = \\ \\ & AA^* = A^*A = \\ \\ & |A^*|= \\ \\ & A^{-1} = \\ \\ & = |A|(A^*)^{-1} \\ \\ & (A^{-1})^{-1} = \\ \\ & (kA)^{-1} = \\ \\ & (AB)^{-1} = \\ \\ & (A^T)^{-1} = \\ \\ & (A^T)^* = \\ \\ & (A^{-1})^* = \\ \\ & (AB)^* = \\ \\ & (A^*)^* = \\ \\ & |A^{-1}| = \\ \\ & [A|E] \xrightarrow{初等行变换}[E|A^{-1}] \\\\ & [A|B] \xrightarrow{初等行变换}[E|?] \\\\ \end{aligned} (AT)T=(kA)T=(A+B)T=(AB)T=AA∗=A∗A=∣A∗∣=A−1==∣A∣(A∗)−1(A−1)−1=(kA)−1=(AB)−1=(AT)−1=(AT)∗=(A−1)∗=(AB)∗=(A∗)∗=∣A−1∣=[A∣E]初等行变换 [E∣A−1][A∣B]初等行变换 [E∣?]
[ A O O B ] n = \begin{aligned} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^n = \end{aligned} [AOOB]n=
A 是 正 交 矩 阵 ⟺ ⟺ ⟺ ⟹ ∣ A ∣ = ⟹ λ = \begin{aligned} & A是正交矩阵 \\\\ \iff & \\ \\ \iff &\\ \\ \iff & \\ \\ \implies & |A| = \\ \\ \implies & \lambda = \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟹⟹A是正交矩阵∣A∣=λ=
β 1 = β 2 = β 3 = ⋯ ⋯ β n = \begin{aligned} & \beta_1 = \\ \\ & \beta_2 = \\ \\ & \beta_3 =\\ \\ & \cdots\cdots \\\\ & \beta_n = \\ \\ \\ \end{aligned} β1=β2=β3=⋯⋯βn=
A 可 逆 ⟺ ⟺ ⟺ A x = 0 ⟺ A x = b ⟺ r ( A ) = ⟺ 特 征 值 \begin{aligned} & A可逆 \\\\ \iff & \\ \\ \iff & \\\\ \iff & Ax=0 \\\\ \iff & Ax=b \\\\ \iff & r(A)= \\\\ \iff & 特征值 \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A可逆Ax=0Ax=br(A)=特征值
A , B 等 价 ⟺ A ≅ B ⟺ ⟺ { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ⟺ ⟺ ⟺ \begin{aligned} & A, B等价 \\\\ \iff & A \cong B \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\\\\\ & \{\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_s\} \cong \{\beta_1,\beta_2, \cdots, \beta_t \} \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺A,B等价A≅B{α1,α2,⋯,αs}≅{β1,β2,⋯,βt}
A 是 m × n 矩 阵 ， 则 ： r ( A ) ≤ m i n { m , n } r ( A T ) = r ( k A ) = r ( A + B ) ≤ r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) − ? ≤ r ( A ) + r ( B ) ≤ ？ （ 其 中 ， A B = O , n 是 A 的 列 数 或 B 的 行 数 ） r ( A O O B ) = ？ ≤ r ( A O C B ) ≤ ？ ？ = r ( A T A ) r ( A ) = 1 ⟹ ∃ 非 零 α , β ， 使 得 A = ？ r ( α α T ) = ？ { r ( A ) = ？ ⟹ r ( A ∗ ) = ？ r ( A ) = ？ ⟹ r ( A ∗ ) = ？ r ( A ) < ？ ⟹ r ( A ∗ ) = ？ \begin{aligned} & A是m\times n矩阵，则：\\\\ & r(A) \le min\{m,n\} \\ \\ & r(A^T) = \\ \\ & r(kA) = \\ \\ & r(A+B) \le \\ \\ & r(AB) \le \\ \\ & r(A) + r(B) -? \le \\ \\ & r(A) + r(B) \le ？ ~~~~（其中，AB=O,n是A的列数或B的行数） \\\\ & r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} =\\ \\ & ？\le r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} \le ？ \\\\ & ？= r(A^T A) \\ \\ & r(A) = 1 \implies \exists 非零 \alpha, \beta ，使得 A = ？ \\ \\ & r(\alpha \alpha^T) = ？ \\ \\ & \begin{cases} r(A) = ？ ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = ？ \\ r(A) = ？ ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = ？ \\ r(A) < ？ ~~~ \implies ~~~ r(A^*) = ？ \\ \end{cases} \\\\ \end{aligned} A是m×n矩阵，则：r(A)≤min{m,n}r(AT)=r(kA)=r(A+B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)−?≤r(A)+r(B)≤？ （其中，AB=O,n是A的列数或B的行数）r(AOOB)=？≤r(ACOB)≤？？=r(ATA)r(A)=1⟹∃非零α,β，使得A=？r(ααT)=？⎩⎪⎨⎪⎧r(A)=？ ⟹ r(A∗)=？r(A)=？ ⟹ r(A∗)=？r(A)<？ ⟹ r(A∗)=？
∑ i = 1 n λ i = ∏ i = 1 n λ i = \begin{aligned} & \sum_{i=1}^n \lambda_i =\\ \\ & \prod_{i=1}^n \lambda_i = \\\\ \end{aligned} i=1∑nλi=i=1∏nλi=
矩 阵 A k A A k f ( A ) A − 1 A ∗ A − 1 + f ( A ) 特 征 值 对 应 的 特 征 向 量 \def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c:c:c:c:c:c} 矩阵 & A & kA & A^k & f(A) & A^{-1} & A^* & A^{-1} + f(A) \\ \hline 特征值 & & & & & & & \\ \hline 对应的特征向量 & & &&&&& \end{array} 矩阵特征值对应的特征向量AkAAkf(A)A−1A∗A−1+f(A)
A ∼ B ⟺ ⟺ ？ （ 判 断 两 矩 阵 是 否 相 似 ） ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ ⟹ \begin{aligned} & A \sim B \\ \\ \iff & \\\\ \iff & ？（判断两矩阵是否相似）\\\\\\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹A∼B？（判断两矩阵是否相似）
A ∼ Λ ⟺ ⟺ A = A T （ A 是 实 对 称 矩 阵 ） ⟹ ⟹ ⟹ \begin{aligned} & A \sim \Lambda \\ \\ \iff & \\\\ \iff & \\ \\ \\ \\ & A = A^T ~~~~~（A是实对称矩阵） \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\\\ \implies & \\ \\ \end{aligned} ⟺⟺⟹⟹⟹A∼ΛA=AT （A是实对称矩阵）
f = x T A x 正 定 ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟹ ⟹ ⟹ ？ 正 定 ( A O O B ) 正 定 ⟺ \begin{aligned} & f=x^TAx正定 \\\\ \iff & \\ \\ \iff &\\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \iff & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & \\ \\ \implies & ？正定 \\ \\ \\ & \begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} 正定 \iff \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺⟹⟹⟹f=xTAx正定？正定(AOOB)正定⟺
