高中物理作业示范（冲量和动量）

地面上有一个向上喷水的喷泉，靠水柱向上的冲力支撑了一个质量为$M$的小木块。水刚刚冲出地面的时候压强是$p_0$，速率是$v_0$，方向竖直向上；水与木块接触后竖直方向的速率为$0$。水柱的横截面积与小木块底面积接近为$S$。

我们想要知道平衡时水柱的高度。

当整个系统处于一种平衡状态的时候，我们仅从竖直方向来考虑问题。

我们假定水柱的整体状态不随时间变化，这样记总高度为$H$。离地面高为$h$处，记水的压强为$p(h)$，水的向上流速大小为$v(h)$。一块水从该处经过一小段时间$\Delta t$恰好完全通过了该处水平面，其高度将升高$\Delta h=v(h)\Delta t$，其上下压强差为$\Delta p=p(h)-p(h+\Delta h)$，其竖直方向上所受的总外压力为$F=S\Delta p=m(h)(a(h)+g)$（若为正，则向上；若为负，则向下；注意$F-mg=ma$)；而其加速度满足$a(h)\Delta t=v(h+\Delta h)-v(h)$。水柱质量$m(h)=S\rho \Delta h$。

这些方程互相代入后，我们得到：

$$F=m(h)(a(h)+g)=S\rho \Delta h(\frac{v(h+\Delta h)-v(h)}{\Delta t}+g)$$

$$=S\rho v(h)\Delta t\frac{v(h+\Delta h)-v(h)}{\Delta t}+Sg\rho \Delta h=S\rho v(h)(v(h+\Delta h)-v(h))+S\rho g\Delta h$$

$$=S\rho (v(h)v^{\prime }(h)+g)\Delta h$$

以及

$$F=S\Delta p=S(p(h)-p(h+\Delta h))=-S{p}^{\prime }(h)\Delta h$$

所以

$$0=p^{\prime }(h)+\rho g+\rho v(h)v^{\prime }(h)$$

两侧对$h$做不定积分，此时有常数

$$C=p(h)+\rho \frac{v^2(h)}{2}+\rho gh$$

也就是说对于水柱的顶端和底端

$$p(H)+\rho gH=C=p_0+\rho \frac{v_0^2}{2}$$

在稳定状态下，顶端的水压$p(H)$支撑了小木块，所以$p(H)=Mg/S$。代入上式得到：

$$\frac{Mg}{S}+\rho gH=p_0+\rho \frac{v_0^2}{2}$$

所以有水柱高度：

$$H=\frac{p_0}{\rho g}+\frac{v_0^2}{2g}-\frac{M}{\rho S}$$