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前言一、算法推导1.模型2.策略3.算法4.SVM的拓展4.1 软间隔4.2 核技巧 二、应用场景三、代码实现1.导入相关库2.读取样例数据3.划分训练集和测试集4.建立模型5.评估模型 四、优缺点1.优点2.缺点

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前言

支持向量机（Support vector machines，SVM）是一种二分类模型（可以拓展至多分类）。它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大化的线性分类器。它跟感知机的联系是，感知机是满足分类条件的其中一个超平面，而SVM是最鲁棒的那个。

一、算法推导

1.模型

SVM是在所有满足分类要求的超平面中${}^1$，选择最鲁棒的那个超平面${}^2$。 所以我们的模型是一个超平面 $$f(x)=Sign(w^{T}x+b)$$在超平面的左侧样本的$w^{T}x+b>0$，此时$f(x)$输+1，在超平面右侧样本的$w^{T}x+b<0$，此时$f(x)$输出-1。

2.策略

上面提到SVM求出来的超平面需要满足两个条件： （1）所有节点正确分类 （2）鲁棒性最强 我们分别将这两个条件进行量化。 首先是所有节点正确分类。即对于任一节点$(x_i,y_i)$，若$y_i=+1$，则应该有$w^{T}x+b>0$；若$y_i=-1$，则应该有$w^{T}x+b<0$，令 $$\{\begin{array}{ll}{{\mathbf{w}}_0}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b_0>0,& y_i=+1\\ {{\mathbf{w}}_0}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b_0<0,& y_i=-1\end{array}$$ 那么肯定存在一个$\delta =min(w^T{x}_i+b)$使得 $$\{\begin{array}{ll}{{\mathbf{w}}_0}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b_0⩾\delta ,& y_i=+1\\ {{\mathbf{w}}_0}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b_0⩽\delta ,& y_i=-1\end{array}$$两边同时除以$\delta$相当于对平面进行一个缩放，不影响最终的结果。所以可以写成 $$\{\begin{array}{ll}{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b⩾+1,& y_i=+1\\ {\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_i+b⩽-1,& y_i=-1\end{array}$$合并成一条公式就是$$y_i(w^T{x}_i+b)⩾1$$ 即最终的超平面如下图所示。 其次是鲁棒性最强。我们知道满足分类条件的超平面很多，但是哪一个是最稳定（鲁棒）的呢，这个可以根据超平面与节点之间的距离来衡量。超平面离节点越远，那么这些节点在分类过程中就越不容易被误判，所以这个模型会越稳定。任意点$x$到超平面的$w^{T}x+b$的距离可以表示为 $$d=\frac{\left|{\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}+b\right|}{\Vert \mathbf{w}\Vert }$$ 我们回到第一个条件：可以发现，只要最靠近超平面的那几个点满足$y_i(w^T{x}_i+b)⩾1$，那么其他节点也一定满足，所以我们只需要讨论这些节点到超平面的距离即可，而这些节点我们称之为支持向量，这也是支持向量机这个名字的由来。 观察这些节点，我们可以发现它们满足$$X_i^{T}w+b=1$$所以距离可以写成$$d=\frac{2}{\Vert \mathbf{w}\Vert }$$我们要做的是将距离d最大化。

最后把这两个条件结合起来就可以得到 $$\begin{array}{l}{\min }_{W,b}J(W)={\min }_{W,b}\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2\\ \text{ s.t. }{y}_i\left(X_i^{T}W+b\right)\ge 1,i=1,2,\dots n\end{array}（1）$$ 这个就是SVM的优化方程，构造拉格朗日函数就可以得到它的损失函数 $$J(w)=L(W,b,\alpha )=\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\left[y_i\left(X_i^{T}w+b\right)-1\right]（2）$$

3.算法

如何求解？ $$\begin{array}{l}{\min }_{w,b}J(w)={\min }_{w,b}\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2\\ \text{ s.t. }{y}_i\left(X_i^{T}w+b\right)\ge 1,i=1,2,\dots n\end{array}（1）$$ 可以应用拉格朗日乘子法构造拉格朗日函数，再通过求解其对偶问题得到原始问题的最优解。 为什么要转为对偶问题？ （1）对偶问题更容易求解，因为其对偶问题只需优化一个变量$\alpha$且约束条件更简单。 （2）能更加自然地引入核函数，进而推广到非线性问题。 （3）无论原始问题是否是凸的，对偶问题都是凸优化问题 （4）对偶问题可以给出原问题的一个下界（当满足KKT条件时，对偶问题和原问题的解相同） 首先构造拉格朗日函数： $$L(W,b,\alpha )=\frac{1}{2}\Vert W{\Vert }^2-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\left[y_i\left(X_i^{T}W+b\right)-1\right]（2）$$ 给定一个W和b,若不满足式（1）的约束条件，那么有 $$\underset{\alpha }{\max }L(W,b,\alpha )=+\infty （3）$$（这是因为不满足约束条件时，后半部分大于0，因为只要W足够大，那么$L(W,b,a)$就会趋于无穷大） 否则，若满足约束条件$$\underset{\alpha }{\max }L(W,b,\alpha )=J(W)=\frac{1}{2}||W|{|}^2（4）$$结合（3、4）知，优化问题$$\underset{W,b}{\min }\underset{\alpha }{\max },L(W,b,\alpha )（5）$$ 与（1）等价 根据拉格朗日对偶性，式（5）所述问题的对偶问题是: $$\underset{\alpha }{\max }\underset{W,b}{\min },L(W,b,\alpha )（6）$$ 首先求求$$\underset{W,b}{\min },L(W,b,\alpha )$$ $L(W,b,\alpha )$对$W,b$求导，并令其等于0，得到： $$\begin{array}{rl}{\nabla }_{W}L(W,b,\alpha )=W& -\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{X}_i=0⟹W=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{X}_i\\ {\nabla }_{b}L(W,b,\alpha )& =-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0⟹\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0\end{array}$$ 将上两式代入$L(W,b,a)$： $$\underset{W,b}{\min }L(W,b,\alpha )=-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{X}_i^T{X}_j+\sum _{i=1}^n{\alpha }_i（7）$$ ${\min }_{W,b},L(W,b,\alpha )$对$\alpha$求极大,等价于（7）对$\alpha$求极大，也等价于（7）取负数后对$\alpha$求极小： $$\underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{X}_i^T{X}_j-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i（8）$$同时满足约束条件：$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0\\ & {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,\dots ,n\end{array}（9）$$ 上述问题即为$$\begin{array}{l}{\min }_{W,b}J(W)={\min }_{W,b}\frac{1}{2}\Vert W{\Vert }^2\\ \text{ s.t. }{y}_i\left(X_i^{T}W+b\right)\ge 1,i=1,2,\dots n\end{array}（1）$$ 的对偶问题 怎么求解（8-9）这个对偶问题？ 我们可以看出来这是一个二次规划问题，问题规模正比于训练样本数，我们常用 SMO(Sequential Minimal Optimization) 算法求解。 SMO（序列最小优化算法）的想法是：每次只优化一个参数，其他参数先固定，仅求当前这个优化参数的极值。 SMO 算法每次只优化一个参数，但我们的优化目标有约束条件： $$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i=0\\ & {\alpha }_i\ge 0,i=1,2,\dots ,n\end{array}（9）$$ 没有办法一次只变动一个参数，所以我们选择一次更新两个参数，具体步骤为： （1）选择两个需要更新的参数${\alpha }_i,{\alpha }_j$,固定其他参数。于是约束就变成了：$${\alpha }_i{y}_i+{\alpha }_j{y}_j=c,{\alpha }_i>=0,{\alpha }_j>=0$$其中 $c=-{\sum }_{k\ne i,j}{\alpha }_k{y}_k$，由此得到${\alpha }_j=\frac{c-{\alpha }_i{y}_i}{y_j}$，也就是说，我们可以用${\alpha }_i$的表达式替代${\alpha }_j$，这样就相当于把目标问题转化成了仅有一个约束条件的最优化问题，仅有的约束是${\alpha }_i>=0$ （2）对于仅有一个约束条件的最优化问题，我们可以对${\alpha }_i$进行求导，令其导数等于0， 得到${\alpha }_i^{\ast }$, 再根据${\alpha }_i^{\ast }$求出${\alpha }_j^{\ast }$ （3）重复（1-2）直至算法收敛，得到最优的参数$\alpha$ 求出$\alpha$后，再根据$W={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{y}_i{X}_i$求出W* 又根据KKT条件（强对偶和满足KKT条件是充分必要条件），即 $$\{\begin{array}{l}{\alpha }_i⩾0\\ y_{i}f\left({\mathbf{x}}_i\right)-1⩾0\\ {\alpha }_i\left(y_{i}f\left({\mathbf{x}}_i\right)-1\right)=0\end{array}$$总有$a_i=0$或$y_{i}f(x_i)=1$. 若$a_i=0$，则该样本不会在式（9）中出现，也不会对$f(x)$有任何影响；若${\alpha }_i>0$，则必有$y_{i}f(x_i)=1$，所对应的样本点位于最大间隔边界上，式一个支持向量，即最终模型仅与支持向量有关。$$\begin{array}{rl}f(\mathbf{x})& ={\mathbf{w}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}+b\\ & =\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{x}+b\end{array}（10）$$ 对于任意一个支持向量$(x_s,y_s)$， 都有$y_{s}f(x_s)=1$，即 $$y_s\left(\sum _{i\in S}{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_s+b\right)=1$$ 通过上式求得$b^{\ast }$, (左右两边乘以$y_s$，然后使用所有的支持向量求解的平均值)。

4.SVM的拓展

4.1 软间隔

在前面的讨论中，我们一直假定训练数据是严格线性可分的，即存在一个超平面能完全将两类数据分开。但是现实任务这个假设往往不成立，例如下图所示的数据。 解决该问题的一个办法是允许SVM在少量样本上出错，即将之前的硬间隔最大化条件放宽一点，为此引入“软间隔”的概念，即允许少量样本不满足约束$y_i\left(X_i^{T}W+b\right)\ge 1$ 为了使不满足上述条件的样本尽可能少，我们在目标函数中加入一个惩罚项。即： $$\begin{array}{rl}& \underset{W,b,\xi }{\min }\frac{1}{2}\Vert W{\Vert }^2+C\sum _{i=1}^n{\xi }_i\\ & \text{s.t. }{y}_i\left(X_i^{T}W+b\right)\ge 1-{\xi }_i\\ & {\xi }_i\ge 0,i=1,2,\dots n\end{array}$$上式所述问题即软间隔支持向量机。求解方法与硬间隔类似

4.2 核技巧

（1）非线性带来高维转换 （2）对偶表示带来内积 核技巧的基本思路分为两步: （1）使用一个变换将原空间的数据映射到新空间：$x->\varphi (x)$例如更高维甚至无穷维的空间)； （2）然后在新空间里用线性方法从训练数据中学习得到模型。 但是升维后，计算$\varphi (x)\varphi (z)$比较复杂，因此引入核函数，使得$K(x,z)=\varphi (x)\varphi (z)$，而$K(x,z)$的计算相对容易。 核函数怎么选？ （1）如果特征维数很高，往往线性可分（SVM解决非线性分类问题的思路就是将样本映射到更高维的特征空间中），可以采用LR或者线性核的SVM； （2）如果样本数量很多，由于求解最优化问题的时候，目标函数涉及两两样本计算内积，使用高斯核明显计算量会大于线性核，所以手动添加一些特征，使得线性可分，然后可以用LR或者线性核的SVM； （3）如果不满足上述两点，即特征维数少，样本数量正常，可以使用高斯核的SVM。

二、应用场景

SVM主要用于分类，并且是小样本的分类

三、代码实现

这里主要使用sklearn这个库来实现机器学习算法。

1.导入相关库

from sklearn.svm import SVC from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.model_selection import cross_val_score from sklearn.datasets import load_breast_cancer from sklearn.metrics import accuracy_score import pandas as pd import numpy as np

2.读取样例数据

data = load_breast_cancer() # 获取样例数据，这里的数据乳腺癌检测,y=0代表没有乳腺癌，y=1代表有 X = pd.DataFrame(data.data,columns=data.feature_names) y = data.target

3.划分训练集和测试集

X_train, X_test, y_train, y_test =train_test_split(X,y,test_size=0.3,random_state=0)

4.建立模型

model = SVC().fit(X_train,y_train) y_pred = model.predict(X_test)

5.评估模型

由于是分类问题，所以我们可以直接使用准确率来评估模型

print('ACC:%.3f'%(accuracy_score(y_test,y_pred))) ACC:0.924

其实上面用的方法是留出法，我们也可以使用交叉验证法来计算模型误差。这样就把划分训练集和测试集、建立模型以及评估模型这几步合并在一起。

acc = np.mean(cross_val_score(LogisticRegression(),X,y,cv=10,scoring='accuracy')) print('ACC:%.3f'%(acc)) ACC:0.947

可以看到两者比较接近。

四、优缺点

1.优点

（1）由于SVM是一个凸优化问题，所以求得的解一定是全局最优而不是局部最优 （2）不仅适用于线性线性问题还适用于非线性问题(用核技巧)。 （3）少数支持向量决定了最终结果,这不但可以帮助我们抓住关键样本、“剔除”大量冗余样本,而且注定了该方法不但算法简单,而且具有较好的“鲁棒”性。这种“鲁棒”性主要体现在:①增、删非支持向量样本对模型没有影响;②支持向量样本集具有一定的鲁棒性;

2.缺点

（1）二次规划问题求解将涉及m阶矩阵的计算(m为样本的个数), 因此SVM不适用于超大数据集。(SMO算法可以缓解这个问题) （2）对参数和核函数的选择比较敏感；原始的SVM只比较擅长处理二分类问题。