为什么要有图

前面我们学了线性表和树线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系树也只能有一个直接前驱也就是父节点当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

图的常用概念

顶点(vertex)边(edge)路径无向图有向图带权图

图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵 邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。 邻接表 邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

图的快速入门案例

要求: 代码实现如下图结构.

思路分析 (1) 存储顶点String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges

代码实现

/** *插入结点（顶点） * * @param vertex 结点 */ public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } /** * 添加边 * * @param v1 表示点的下标 即是第几个顶点 "A" - "B" => "A" - 0 "B" - 1 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示两个点是否有关联 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; }

图的深度优先遍历介绍

图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:

深度优先遍历广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

访问初始结点v，并标记结点v为已访问。查找结点v的第一个邻接结点w。若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析:

要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历.

思路分析

代码实现

/** * 对一个结点进行深度优先遍历算法 * * @param isVisited 是否访问表示矩阵 * @param i 第i个结点 第一次是0 */ private void dfs(boolean[] isVisited, int i) { // 首先访问该节点 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); // 将该节点设置为已经访问 isVisited[i] = true; // 查找结点i的第一个邻接节点 int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {//说明有 if (!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } // 如果w存在，但是已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } // 对dfs重载 遍历所有结点，并进行dfs public void dfs() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; // 遍历所有的结点，进行dfs(回溯 for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } }

广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

访问初始结点v并标记结点v为已访问。结点v入队列当队列非空时，继续执行，否则算法结束。出队列，取得队头结点u。查找结点u的第一个邻接结点w。若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤： 6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。 6.2 结点w入队列 6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

广度优先举例说明

广度优先代码实现

/** * 对一个结点进行广度优先遍历算法 * * @param isVisited 是否访问表示矩阵 * @param i 第i个结点 第一次是0 */ private void bfs(boolean[] isVisited, int i) { int u; // 表示队列头结点对应下标 int w; // 表示邻接节点w // 队列，记录结点访问的顺序 LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>(); // 访问结点，输出信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>"); // 标记为已访问 isVisited[i] = true; // 将节点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) { // 出去队列头结点下标 u = queue.removeFirst(); // 得到第一个临界点下标w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) { // 找到了 // 判断是否访问 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>"); // 标记已访问 isVisited[w] = true; // 入队 queue.addFirst(w); } // 以u为前驱结点，找w后面的下一个邻接点 w = getNextNeighbor(u, w); // 体现出广度优先 } } } // 对dfs重载 遍历所有结点，并进行dfs public void bfs() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } }

应用实例

图的完整代码

package graph; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.LinkedList; public class Graph { private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合 private int[][] edges; // 存储图对应的邻接矩阵 private int numOfEdges; // 表示边的树木 private boolean[] isVisited; public static void main(String[] args) { // 测试图的创建 int n = 5; // 结点的个数 // String[] Vertexes = {"A", "B", "C", "D", "E"}; String[] Vertexes = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"}; // 创建图对象 Graph graph = new Graph(8); // 循环添加顶点 for (String Vertex : Vertexes) { graph.insertVertex(Vertex); } // 添加边 // A-B A-C B-C B-D B-E // graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B // graph.insertEdge(0, 2, 1); // A-C // graph.insertEdge(1, 2, 1); // B-C // graph.insertEdge(1, 3, 1); // B-D // graph.insertEdge(1, 4, 1); // B-E graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1); graph.showGraph(); // 测试dfs遍历是否ok System.out.println("深度优先遍历"); graph.dfs(); System.out.println(); // 测试bfs遍历是否ok System.out.println("广度优先遍历"); graph.bfs(); } /** * 构造器 * * @param n 图的结点数量 */ public Graph(int n) { // 初始化矩阵和ArrayList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; // isVisited = new boolean[5]; } /** * 插入结点（顶点） * * @param vertex 结点 */ public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } /** * 添加边 * * @param v1 表示点的下标 即是第几个顶点 "A" - "B" => "A" - 0 "B" - 1 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示两个点是否有关联 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdges++; } /** * 得到第index个结点的第一个邻接节点的下标w * * @param index 想寻求邻接节点的结点 * @return 找到返回下标，找不到返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int index) { for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) { if (edges[index][i] > 0) { return i; } } return -1; } /** * 根据前一个邻接节点的下标获取下一个邻接节点 * * @param v1 结点横坐标 * @param v2 结点纵坐标 * @return 找到返回下标，找不到返回-1 */ public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) { if (edges[v1][i] > 0) { return i; } } return -1; } /** * 对一个结点进行广度优先遍历算法 * * @param isVisited 是否访问表示矩阵 * @param i 第i个结点 第一次是0 */ private void bfs(boolean[] isVisited, int i) { int u; // 表示队列头结点对应下标 int w; // 表示邻接节点w // 队列，记录结点访问的顺序 LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>(); // 访问结点，输出信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>"); // 标记为已访问 isVisited[i] = true; // 将节点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) { // 出去队列头结点下标 u = queue.removeFirst(); // 得到第一个临界点下标w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) { // 找到了 // 判断是否访问 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>"); // 标记已访问 isVisited[w] = true; // 入队 queue.addFirst(w); } // 以u为前驱结点，找w后面的下一个邻接点 w = getNextNeighbor(u, w); // 体现出广度优先 } } } // 对dfs重载 遍历所有结点，并进行dfs public void bfs() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } } /** * 对一个结点进行深度优先遍历算法 * * @param isVisited 是否访问表示矩阵 * @param i 第i个结点 第一次是0 */ private void dfs(boolean[] isVisited, int i) { // 首先访问该节点 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); // 将该节点设置为已经访问 isVisited[i] = true; // 查找结点i的第一个邻接节点 int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {//说明有 if (!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } // 如果w存在，但是已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } // 对dfs重载 遍历所有结点，并进行dfs public void dfs() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; // 遍历所有的结点，进行dfs(回溯 for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } } // 图中常用的方法 /** * 返回结点的个数 * * @return 结点个数 */ public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } /** * 返回边的个数 * * @return 边的个数 */ public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } /** * 返回结点i（下标） 对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" * * @param i 第i个 * @return 第i个数据 */ public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } /** * 返回两个结点间的权值 * * @param v1 结点1 * @param v2 结点2 * @return 两个结点间的权值 */ public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } /** * 显示图对应的矩阵 */ public void showGraph() { // for (int i = 0; i < edges.length; i++) { // for (int j = 0; j < edges[0].length; j++) { // System.out.print(edges[i][j] + " "); // } // System.out.println(); // } for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } }