[Leetcode]最小路径和-动态规划
Leetcode最小路径和-动态规划
题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。 说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例: 输入: [ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ] 输出: 7 解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
解题思路
典型的动态规划状态定义：设 dp 为大小 m×n 矩阵，其中 dp[i][j]的值代表直到走到 (i,j) 的最小路径和。转移方程：题目要求只能向右或向下走，换句话说，当前单元格 (i,j) 只能从左方单元格 (i-1,j) 或上方单元格 (i,j-1) 走到，因此只需要考虑矩阵左边界和上边界。
走到当前单元格 (i,j) 的最小路径和 = “从左方单元格 (i-1,j) 与 从上方单元格 (i,j-1) 走来的两个最小路径和中较小的 ” + 当前单元格值 grid[i][j] 。具体分为以下 4 种情况：当左边和上边都不是矩阵边界时： 即当
i
≠
0
i \not= 0
i=0,
j
≠
0
j \not= 0
j=0时，
d
p
[
i
]
[
j
]
=
m
i
n
(
d
p
[
i
−
1
]
[
j
]
,
d
p
[
i
]
[
j
−
1
]
)
+
g
r
i
d
[
i
]
[
j
]
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+grid[i][j]；当只有左边是矩阵边界时： 只能从上面来，即当
i
=
0
,
j
≠
0
i = 0, j \not= 0
i=0,j=0时，
d
p
[
i
]
[
j
]
=
d
p
[
i
]
[
j
−
1
]
+
g
r
i
d
[
i
]
[
j
]
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j]
dp[i][j]=dp[i][j−1]+grid[i][j]；当只有上边是矩阵边界时： 只能从左面来，即当
i
≠
0
,
j
=
0
i \not= 0, j = 0
i=0,j=0时，
d
p
[
i
]
[
j
]
=
d
p
[
i
−
1
]
[
j
]
+
g
r
i
d
[
i
]
[
j
]
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j]
dp[i][j]=dp[i−1][j]+grid[i][j]；当左边和上边都是矩阵边界时： 即当
i
=
0
,
j
=
0
i = 0, j = 0
i=0,j=0时，其实就是起点，
d
p
[
i
]
[
j
]
=
g
r
i
d
[
i
]
[
j
]
dp[i][j] = grid[i][j]
dp[i][j]=grid[i][j]； 初始状态：dp初始化即可，不需要修改初始 0 值。返回值：返回 dp 矩阵右下角值，即走到终点的最小路径和。其实我们完全不需要建立 dp 矩阵浪费额外空间，直接遍历 grid[i][j]修改即可。这是因为：
g
r
i
d
[
i
]
[
j
]
=
m
i
n
(
g
r
i
d
[
i
−
1
]
[
j
]
,
g
r
i
d
[
i
]
[
j
−
1
]
)
+
g
r
i
d
[
i
]
[
j
]
grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j]
grid[i][j]=min(grid[i−1][j],grid[i][j−1])+grid[i][j] ；原 grid 矩阵元素中被覆盖为 dp 元素后（都处于当前遍历点的左上方），不会再被使用到。复杂度分析：
时间复杂度 O(M \times N)O(M×N) ： 遍历整个 gridgrid 矩阵元素。空间复杂度 O(1)O(1) ： 直接修改原矩阵，不使用额外空间。
实现代码
class Solution:
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
for i in range(len(grid)):
for j in range(len(grid[0])):
if i == 0 and j == 0:
continue
elif i == 0:
grid[i][j] += grid[i][j - 1]
elif j == 0:
grid[i][j] += grid[i - 1][j]
else:
grid[i][j] = min(grid[i][j] + grid[i - 1][j], grid[i][j] + grid[i][j - 1])
return grid[-1][-1]
