前言

本节主要讨论“变换”(transformation)概念的一般形式。许多内容其实是线性代数部分的知识点。然后讨论了动态图的概念，即对于离散变化的图示展现。

对变化的简单假设

变化总是可以分解为有限步骤完成的每一给定步骤中的变化总不是无穷小的离散变化可以连续化，在此并不讨论

转移

皮肤被晒黑的例子 白皮肤受到太阳的作用被晒黑了白皮肤——受到作用的对象——原象/被映元素太阳——起作用的因素——算子——作用素黑皮肤——作用后变成的对象——映象/变换象记为：白皮肤→黑皮肤 一个原象在算子的作用下变成映象的过程，称为“转移”

变换

一批原象在算子的作用下变成一批映象的过程，称为“变换”对于变换本身，只关心 该变换可以作用的一批原象有哪些对于每一个给定的原象，经过该变换后成为怎样的映象 而不关心算子的作用机制（即如何把特定原象变成特定映象）变换的一般写法 A B C D E ↓ E D C B A

或

n→n+3 (n=1,2,3,4)

或

n'=n+3 (n=1,2,3,4)

封闭性

对于一批给定的原象及一个给定的变换若这批原象经变换后映象均包含在原有的这批原象中（并未产生新的元素）则称这一批原象在该变换下是封闭的

单值变换

对于一个给定的变换若对于其任意一个原象，都具有唯一的映象则称该变换为单值变换

一一变换

对于一个单值变换若对于其任意一个映象，都仅由唯一的原象变换而来则称该变换为一一变换

多一变换

对于一个单值变换若存在一个映象，使其由≥2个原象变换而来则称该变换为多一变换

全同变换

对于一个变换若其每一个映象都与其对应原象相同则称该变换为全同变换记为n’=n

变换的矩阵表示

将原象排列为第一行将映象排列为第一列每建立1个原象→映象关系，将对应原象之纵列下对应映象处记为"+“或"1”变换n'=n+3 (n=1,2,3,4)可写作 ↓12344+5+6+7+

变换的幂

对于一个封闭变换A和另一个封闭变换B若变换A作用n次的效果，等同于变换B作用1次的效果称变换B是变换A的n次幂记为B=Aⁿ 对于变换A的1个原象kA(k)表示A作用于k所得的映象Aⁿ(k)表示Aⁿ作用于k所得的映象

采用消元法计算变换的幂

对于以代数形式表示的变换可采用依次迭代消元的方式计算变换的幂 变换A: n→n+3 (n∈N*) 计算A^3 记A(n)=n+3 A^3(n)=A(A(A(n)))=n+9 (n∈N*)

变换的乘积

对于1个变换U及另一个变换V若U的映象集包含于V的原象集记变换W=UV为变换U与V的乘积 UV不一定等同于VU

动态图

研究变换的另一种角度对于1个封闭变换，只取1个原象，接连不断地对其做多个变换，考察每一次变换后映象的情况推广到动力系统：给定初值，不加干涉，观察其在自身性质引导下的变化情况

动态图的作法

将每1个原象都画在适当的地方作为初始点对于每1个原象引出一根箭头，指向其经过1次变换后的映象把每一个映象点又作为原象，不断做下去 动态图上每一个点，称为示象点

收敛到一个象

对于某些封闭变换和某些特定的原象部分原象作用于该变换会最终收敛至特定的象

收敛到一个洼(basin)

对于某些封闭变换和某些特定的原象部分原象作用于该变换会最终收敛至一组有序的象的集合该有序象集合中，元素按次序在该变换下互为原象、映象