高代线性空间感想 作为线代上已经出现过的章节，我本来以为能轻轻松松就过了，没想到高代还是给了我不少惊喜啊。本章从映射的角度定义二元代数运算，之后用借助二元代数运算定义的加法，纯量乘法等来定义线性空间，显得逻辑十分严谨。在环论中便提到了，严谨的数学证明必不可少，包括0元唯一，负元唯一…。线性空间最重要的便是线性二字，其中加法结合律保证了这一点。之后便是与线性空间一样，介绍了线性相关，线性无关，极大线性无关租，向量组的秩（这些是必要的，因为对线性空间的结构研究中，维度是必不可少的一部分，这直接关系到这个线性空间是否与其他线性空间同构)。但高代毕竟是高代，在这里引入了一个关于任何线性空间都有基的证明。在基变换与坐标变换中，本书在后面的章节提到构造了一个V到V丿的同构映射，我们只需要追踪其基到变化，我们就可以了解到整个线性空间的变化，因为任意一个向量在原空间中都可被基表出，由于同构映射保加法到性质，我们两边同时作用一个同构映射，得到的形式不变。（但要注意这个地方作用同构映射后，基的一边不一定是极大线性无关组了。）之后类比集合，类比了子空间的交（交集)，和（并集），直和（内部元素的合并）。在此处，定义的直和并非无用，若在N维线性空间V中任取X个不相等的N-1维子空间，他们的和永远不可能等于V，因为本来一个N维空间便是由无穷个N-1维空间的和构成（这个无穷的和其实很有意思，具体查看昨天周先生与我的讨论，图我放在下面）。但直和只要X＞＝2即可，因为它本来就是基的合并。在本章的最后，提到了商空间，商空间个人感觉就是单独抽出了线性空间的一或几个基单独研究其对整体的作用，毕竟rank等都是将线性空间作为一个整体进行研究，而商空间则是研究其具体组成的部分。 最后，特别感谢周经常与我这个菜鸡讨论，让我学到了不少东西。!
