确定性机器
行为与封闭单值变换相同的那种机器，称为确定性机器(determinate machine)
不去关心机器本身的物理实质外界对其不产生积极作用
该机器下一阶段的状态，取决且仅取决于该机器当前阶段的状态 物理中的类比：孤立系统
状态
一个系统的“状态”(status)指这个系统中具有确定标志的/可识别的一簇性质/状况的合称一个系统可以具有许多可能的状态
迹线
一个系统随着时间的推移
尽管系统本身实际上是被特定算子所推动的但控制论中不关心该特定算子的物理实质（e.g. 钟表受如何的机械力作用而如此走时） 其也对应有一系列状态这一系列系统状态随时间的推移的变化状况构成该系统的迹线(trace)
机器与变换
机器的特定状态对应于动态图中的特定示象点机器状态的改变对应于动态图中连接示象点的箭头机器保持于某一状态，对应于动态图中收敛到一个象机器保持于某一循环，对应于动态图中收敛到一个洼
当某一现实机器与某一变换具有如此对应关系时：
称该现实机器为该变换的具体化称该变换为该现实机器的标准表达式
矢量
对于某特定系统如果其状态由其各部分的状态所共同决定该系统各部分的状态共同构成该特定系统的状态矢量该系统状态矢量的各个分量代表该系统各部分的状态
举例
航海学上要确定一艘航船的状态，至少需要
经度纬度航行方向航行速率
如果设该航船为一系统，则该系统的状态矢量
a
⃗
\vec a
a
表示为：(经度，纬度，方向，速率)
显然，如果将经度、纬度合二为一（姑且称为“位置”），将方向、速率合二为一（姑且称为“速度”），并加上是否漏水、食物是否充足两个状态分量，则该系统的状态矢量
a
⃗
\vec a
a
可重写为：
(位置，速度，是否漏水，食物是否充足)
由举例可见：
对于同一系统可以有多种表示其状态的方式状态矢量的分量同样可以是矢量
对状态矢量施行变换
对状态矢量施行变换，需分别指出每一标量所经历的变换
举例
某经济系统内有如下规定：
每年工资增加数=物价指数-100每年终物价指数=年初工资
记工资(a)初值
a
0
a_0
a0=110，物价指数(b)初值
b
0
b_0
b0=110；作图线表示工资-物价变动情况。 则变换为：
a
′
=
a
+
b
−
100
a'=a+b-100
a′=a+b−100
b
′
=
a
b'=a
b′=a
不难写出工资-物价迹线：(110,110)→(120,110)→(130,120)→(150,130)→(180,150)→(230,150)→…
对动力系统的一般研究范式
标准表达式
确定变量
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xnfor
x
i
x_i
xi in {
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn}
以{
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_1,x_2,...,x_n
x1,x2,...,xn}表示
x
i
′
x_i'
xi′（如果是连续系统，则表示
d
x
i
d
t
\frac{dx_i}{dt}
dtdxi）
采用的方法可以是物理的、生物的、统计学的，控制论并不关心 如此得到一簇方程，称为该动力系统的标准表达式
离散形式
x
i
′
=
f
(
x
i
)
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
,
i
∈
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
x_i'=f(x_i)(x_1,x_2,...,x_n), i∈\{1,2,...,n\}
xi′=f(xi)(x1,x2,...,xn),i∈{1,2,...,n} 连续形式
d
x
i
d
t
=
f
(
x
i
)
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
,
i
∈
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
\frac{dx_i}{dt}=f(x_i)(x_1,x_2,...,x_n), i∈\{1,2,...,n\}
dtdxi=f(xi)(x1,x2,...,xn),i∈{1,2,...,n}
线性系统
对于某给定的动力系统若其标准表达式中函数均为一次的则称该动力系统为线性系统
求解动力系统
对于某给定的动力系统给出初始条件及标准表达式而求解该动力系统的迹线称为求解该动力系统并非所有动力系统都是数学上可解的
相空间
对于一个具有n个状态分量的系统将包含有该系统所有可能状态矢量的n维空间称为“相空间”(phase space)系统的每一个给定的状态都对应于相空间上某一个特定的点系统状态的变化，对应于相空间中点位置的改变
确定单值性的疑难
现实机器可以设立的状态分量有很多乃至无穷计实际研究中选取状态分量构成其子集
选取足够多的状态分量，以使系统在其变换下保证为单值选取足够少的状态分量，以平衡研究花费 系统的实质
不是“这个东西”而是“我所规定的这个东西的一系列状态分量的组合”
举例
欲研究一单摆特定时刻摆球位置的影响因素，需对此建立系统。 采用离散假设。 可能纳入的变量：{摆长，摆重，摆角速度，摆线速度，摆球位置，摆球材质，摆球性状，摆线材质…}
就变量{摆长，摆重，摆球位置}建立系统A
发现该系统对应变换不是单值变换 就变量{摆长，摆重，摆球位置，摆角速度，摆线速度}建立系统B
发现该系统对应变换是单值变换 就变量{摆长，摆球位置，摆角速度，摆线速度}建立系统C
发现该系统对应变换同样是单值变换，且得出结论与系统B相仿可能存在冗余的变量：摆重发现摆长L、摆角速度ω、摆线速度v 3者存在数学关系：v=ωL
该3个状态分量中有1个是冗余的
