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ARCH模型的优点与缺点ARCH建模细节阶的确定估计厚尾分布有偏分布广义误差分布(GED) Demo: Estimate Mean and Variance Modeldata preprocessing and model buildingestimate model parametersinfer conditional variances and residualsCompare Model Fits 参考资料

ARCH模型的优点与缺点

优点： (1).该模型可以产生波动率聚集 (2).模型的扰动$a_t$具有厚尾部 缺点： (1).模型设置了正向扰动和负向扰动对波动率有着相同的影响，由于波动率依赖于过去扰动的平方，实际上金融资产的价格对正向扰动和负向扰动是不同的. (2).ARCH模型对参数具有较强的限制. (3).ARCH模型给出的波动率预报值会偏高，因为它对收益率序列大的孤立的“扰动”反应缓慢.

ARCH建模细节

阶的确定

如果在统计检验中发现了明显的ARCH效应，可以使用$a_t^2$的偏自相关函数(PACF)确定模型的阶，由模型定义可以得到 $${\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\alpha }_1{a}_{t-1}^2+\cdots +{\alpha }_m{a}_{t-m}^2$$ 对于给定样本，$a_t^2$是${\sigma }_t^2$的无偏估计，由于单个$a_t^2$不是${\sigma }_t^2$的有效估计，但是可以作为估计值的近似，在确定阶$m$时提供信息.

估计

${\epsilon }_t$的假定分布确定了ARCH模型估计中使用的似然函数，在正态假定下，ARCH(m)的似然函数为 $$\begin{gathered} f(a_1,a_2,\cdots \mid \alpha \text{α}\alpha )=f(a_T\mid F_{T-1})f(a_{T-1}\mid F_{T-2})\dots f(a_{m+1}\mid F_m)f(a_1,\dots ,a_m\mid \alpha \text{α}\alpha ) \\ =\prod _{t=m+1}^T\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_t^2}}\exp (-\frac{a_t^2}{2{\sigma }_t^2})\times f(a_1,\dots ,a_m\mid \alpha \text{α}\alpha ) \end{gathered}$$ 根据一般MLE方法得到对数似然函数为 $$l=-\sum _{t=m+1}^T[\frac{1}{2}\ln ({\sigma }_t^2)+\frac{1}{2}\frac{a_t^2}{{\sigma }_t^2}]$$ 其中，${\sigma }_t^2={\alpha }_0+a_1{\alpha }_{t-1}^2+\cdots +{\alpha }_m{a}_{t-m}^2$可以递推计算

厚尾分布

在金融资产收益率序列中，设置${\epsilon }_t$服从t分布会更加符合数据具有尖峰厚尾的特征，设置随机变量$x_v$是一个自由度为$v$的$t$分布，当$v>2$时，有 $$Var(x_v)=\frac{v}{v-2}$$ 使用 $${\epsilon }_t=\frac{x_v}{\sqrt{v/v-2}}$$ 则${\epsilon }_t$的概率密度函数为 $$f({\epsilon }_t\mid v)=\frac{\Gamma ((v+1)/2)}{\Gamma (v/2)\sqrt{(v-2)\pi }}(1+\frac{{\epsilon }_t^2}{v-2}{)}^{-(v+1)/2}v>2$$ 由$a_t={\sigma }_t{\epsilon }_t$可以得到$a_t$的条件似然函数 $$f(a_{m+1},\dots ,a_T\mid \alpha \text{α}\alpha ,A_m)=\prod _{t=m+1}^T\frac{\Gamma ((v+1)/2)}{\Gamma (v/2)\sqrt{(v-2)\pi }}\frac{1}{{\sigma }_t}(1+\frac{a_t^2}{(v-2){\sigma }_t^2}{)}^{-(v+1)/2}$$ 其中$v$表示自由度，可以由先验信息给出，一般取值在$3\sim 6$之间. 在给定$v$时，条件对数似然函数为 $$l(a_{m+1},\dots ,a_T\mid \alpha \text{α}\alpha ,A_m)=-\sum _{t=m+1}^T[\frac{v+1}{2}\ln (1+\frac{a_t^2}{(v-2){\sigma }_t^2})+\frac{1}{2}\ln ({\sigma }_t^2)]$$ 如果需要将参数$v$同时估计出来，那么包含自由度的对数似然函数为 $$\begin{gathered} l(a_{m+1},\dots ,a_T\mid \alpha \text{α}\alpha ,v,A_m)=(T-m)[\ln (\Gamma ((v+1)/2))-\ln (\Gamma (v/2))-0.5\ln ((v-2)\pi )]+ \\ l(a_{m+1},\dots ,a_T\mid \alpha \text{α}\alpha ,A_m) \end{gathered}$$

有偏分布

实际数据收益率还会出现有偏的情况，为了处理这种特征Fernandez和Steel¹开发了有偏版本的$t$分布，该方法可以在任何连续单峰和关于0对称的一元分布中引入偏性，对于ARCH过程中的新息${\epsilon }_t$, Lambert和Laurent²得到一个标准化的有偏$t$分布，pdf为 $$g({\epsilon }_t\mid \xi ,v)=\{\begin{array}{l}\frac{2}{\xi +\frac{1}{\xi }}\varrho f[\xi ({\varrho }_{{\epsilon }_t}+\bar{\omega })\mid v]{\epsilon }_t<-\bar{\omega }/\varrho \\ \frac{2}{\xi +\frac{1}{\xi }}\varrho f[({\varrho }_{{\epsilon }_t}+\bar{\omega })/\xi \mid v]{\epsilon }_t\ge \bar{\omega }/\varrho \end{array}$$ 其中，$f(\cdot )$是标准化学生$t$分布的pdf函数，$\xi$是偏度参数，$v>2$是自由度，参数$\varrho$和$\bar{\omega }$的定义如下 $$\{\begin{array}{l}\bar{\omega }=\frac{\Gamma ((v-1)/2)\sqrt{v-2}}{\sqrt{\pi }\Gamma (v/2)}(\xi -\frac{1}{\xi })\\ {\varrho }^2=({\xi }^2+\frac{1}{{\xi }^2}-1)-{\bar{\omega }}^2\end{array}$$ 方程中，${\xi }^2$等于在分布的众数下概率和众数上概率的比值，是偏度的一个度量.

广义误差分布(GED)

GED的概率密度函数为 $$f(x)=\frac{v\exp (-\frac{1}{2}|x/\lambda {|}^v)}{\lambda 2^{1+1/v}\Gamma (1/v)}-\infty <x<\infty 0<v<\infty$$ 其中$\lambda$的一般取值为 $$\lambda =[2^{-2/v}\Gamma (1/v)\Gamma (3/v){]}^{\frac{1}{2}}$$

Demo: Estimate Mean and Variance Model

data preprocessing and model building

载入NASDAQ数据并进行预处理

%% load and preprocess data load Data_EquityIdx nasdaq = DataTable.NASDAQ; r = 100*price2ret(nasdaq); % 使用百分制表示，保证数值稳定性 T = length(r);

建立AR(1)和GARCH(1, 1)模型 $$\{\begin{array}{l}{r}_t=c+{\varphi }_1{r}_{t-1}+{\epsilon }_t\\ {\sigma }_t^2=\kappa +{\gamma }_1{\sigma }_{t-1}^2+{\alpha }_1{\epsilon }_{t-1}^2\end{array}$$

%% 建立模型 VarMdl=garch(1, 1); Mdl=arima('ARLags', 1, 'Variance', VarMdl);

estimate model parameters

%% 参数估计 EstMdl = estimate(Mdl, r);

估计参数结果如下图所示

可以发现GARCH(1,1)项和AR(1)项均为显著(所有的$t$值均大于2)，因此模型为 $$\{\begin{array}{l}{r}_t=0.073+0.138r_{t-1}+{\epsilon }_t\\ {\sigma }_t^2=0.022+0.873{\sigma }_{t-1}^2+0.119{\epsilon }_{t-1}^2\end{array}$$

infer conditional variances and residuals

%% 模型推断 [res, v, logL]=infer(EstMdl, r); figure; subplot(2, 1, 1); plot(v); xlim([0, T]); title('Conditional Variance'); % 条件方差 subplot(2, 1, 2); plot(res./sqrt(v)); xlim([0, T]); title('Standardized Residuals'); % 标准化残差

可以发现从2000个样本点之后，条件方差(conditional variance)开始增加，标准化残差(standardized residuals)中很多值都超过了2或者3，表示残差序列具有较厚的尾部，因此使用$t$分布描述${\epsilon }_t$项更合适.

%% t分布拟合模型 MdlT = Mdl; MdlT.Distribution='t'; % 设置使用t分布拟合 % 设置模型常数项的起始值 Variance0 = {'Constant0', 0.001}; EstMdl = estimate(MdlT, r, 'Variance0', Variance0);

可以发现t分布给出的自由度(DoF)为8，即和正态分布有着明显地偏离.

Compare Model Fits

%% 模型对比(Gaussian & stu. T) summ = summarize(EstMdl); summT = summarize(EstMdlT); % 模型需要估计的参数数量 numparams = summ.NumEstimatedParameters; numparamsT = summT.NumEstimatedParameters; logT = summT.LogLikelihood; % 信息准则判定模型 [aic, bic]=aicbic([logL, logT], [numparams, numparamsT], T)

对比发现$t$拟合下的aic和bic更小，所以使用$t$分布拟合更加合理

参考资料

金融数据分析导论 基于R语言 TSay Estimate Conditional Mean and Variance Model

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on bayesian modeling of fat tails and skewness ↩︎

Modelling financial time series using GARCH-type models ↩︎