期权理论基础1 对冲法

两期对冲法定价看涨期权的对冲法看跌期权的对冲法

这个系列介绍期权定价的理论基础，需要一点点概率基础，不需要任何的金融基础。我们先从最基础的对冲法开始，介绍一些期权的基本概念。

首先要了解的是期权是一种衍生产品，衍生产品的意思是依托某种基础资产，比如股票、债券、利率、汇率甚至期货等，按照一定的规则进行交易的产品。期权这种产品的规则就是赋予持有期权的一方某种权利，比如以股票为基础资产的看涨期权，持有者（多方）拥有未来买入这种股票的权利，而卖出期权的一方（空方）在多方选择使用这种权利时，有向多方出售这种股票的义务；再比如以股票为基础资产的看跌期权，多方拥有未来向空方出售这种股票的权利，而空方在多方选择使用这种权利时，有向多方购买这种股票的义务。

这一讲我们讨论一种最简单的对期权进行定价的方法。需要用的一个基本原理是无套利原理。无套利原理的含义是未来收益相同的两种资产，在市场均衡时一定具有相同的价格。

两期对冲法定价

考虑两期的期权，假设只有两个时刻，0时刻和1时刻，期权在1时刻进行交割，我们的目标是考虑期权在0时刻的价值。

看涨期权的对冲法

假设0时刻基础资产价格为$S_0$，1时刻基础资产价格可能为$S_u$（上涨），也可能为$S_d$（下跌），我们假设$S_u>S_0>S_d$。假设看涨期权的交割价格为$X$，意思是1时刻多方可以选择以$X$的价格买入这种基础资产。假设$r$表示实际利率。我们假定以上这些都是已知量，要计算的是0时刻看涨期权的价格$c$。

当1时刻基础资产价格为$S_u$时，期权多方的净现金流为$\max (S_u-X,0)$；当1时刻基础资产价格为$S_d$时，期权多方的净现金流为$\max (S_d-X,0)$；因此期权多方净现金流的波动范围为 $$\max (S_u-X,0)-\max (S_d-X,0)$$

定义对冲比率为$\delta$，它表示期权多方净现金流的波动相对基础资产价格的波动的比率， $$\delta =\frac{\max (S_u-X,0)-\max (S_d-X,0)}{S_u-S_d}$$

我们简单画个表表示一下可能的基础资产与期权价格波动

未来状态上涨下跌基础资产$S_u$$S_d$$\delta$份基础资产$\delta S_u$$\delta S_d$期权多方$\max (S_u-X,0)$$\max (S_d-X,0)$

下面我们讨论两种情况，$S_d\le X$和$S_d>X$。

情况一 $S_d\le X$ 此时基础资产与期权价格波动为

未来状态上涨下跌基础资产$S_u$$S_d$$\delta$份基础资产$\delta S_u$$\delta S_d$期权多方$\max (S_u-X,0)$$0$

期权多方与$\delta$份基础资产的波动范围相同，如果我们在0时刻存了一笔钱，设为$y$，到1时刻我们就可以收到$(1+r)y$，如果 $$(1+r)y=\delta S_d$$

则分别在上升、下降两种可能的未来状态下，期权多方的未来收益加上这笔存款的收益就等于$\delta$份基础资产的收益。根据无套利原理，0时刻的价值满足 $$\begin{gathered} c+y=\delta S_0 \\ \Rightarrow c=\delta S_0-\frac{\delta S_d}{1+r} \end{gathered}$$

情况二 $S_d>X$ 此时基础资产与期权价格波动为

未来状态上涨下跌基础资产$S_u$$S_d$$\delta$份基础资产$\delta S_u$$\delta S_d$期权多方$S_u-X$$S_d-X$

期权多方与$\delta$份基础资产的波动范围相同，如果我们在0时刻存了一笔钱，设为$y$，到1时刻我们就可以收到$(1+r)y$，如果 $$(1+r)y=\delta S_d-(S_d-X)=X+(1-\delta )S_d$$

则分别在上升、下降两种可能的未来状态下，期权多方的未来收益加上这笔存款的收益就等于$\delta$份基础资产的收益。根据无套利原理，0时刻的价值满足 $$\begin{gathered} c+y=\delta S_0 \\ \Rightarrow c=\delta S_0-\frac{X+(1-\delta )S_d}{1+r} \end{gathered}$$

看跌期权的对冲法

假设0时刻基础资产价格为$S_0$，1时刻基础资产价格可能为$S_u$（上涨），也可能为$S_d$（下跌），$S_u>S_0>S_d$。假设看跌的交割价格为$X$，意思是1时刻多方可以选择以$X$的价格卖出这种基础资产。假设$r$表示实际利率。我们要计算的是0时刻看跌期权的价格$p$。

当1时刻基础资产价格为$S_u$时，期权多方的净现金流为$\max (X-S_u,0)$；当1时刻基础资产价格为$S_d$时，期权多方的净现金流为$\max (X-S_d,0)$；因此期权多方净现金流的波动范围为 $$\max (X-S_u,0)-\max (X-S_d,0)$$

定义对冲比率为$\delta$，它表示期权多方净现金流的波动相对基础资产价格的波动的比率，我们给分子加上绝对值，保证对冲比率是个正数 $$\delta =\frac{|\max (X-S_u,0)-\max (X-S_d,0)|}{S_u-S_d}$$

我们简单画个表表示一下可能的基础资产与期权价格波动

未来状态上涨下跌基础资产$S_u$$S_d$$\delta$份基础资产$\delta S_u$$\delta S_d$期权多方$\max (X-S_u,0)$$\max (X-S_d,0)$

下面我们讨论两种情况，$S_u\ge X$和$S_u<X$。

情况一 $S_u\ge X$ 此时基础资产与期权价格波动为

未来状态上涨下跌基础资产$S_u$$S_d$$\delta$份基础资产$\delta S_u$$\delta S_d$期权多方$0$$\max (X-S_d,0)$

期权多方与$\delta$份基础资产的波动范围相同，如果我们在0时刻存了一笔钱，设为$y$，到1时刻我们获得本息和$(1+r)y$，如果 $$(1+r)y=\delta S_u$$

则分别在上升、下降两种可能的未来状态下，期权多方的未来收益加上这笔存款的收益就等于$\delta$份基础资产的收益。根据无套利原理，0时刻的价值满足 $$\begin{gathered} p+y=\delta S_0 \\ \Rightarrow c=\delta S_0-\frac{\delta S_u}{1+r} \end{gathered}$$

情况二 $S_u<X$ 此时基础资产与期权价格波动为

未来状态上涨下跌基础资产$S_u$$S_d$$\delta$份基础资产$\delta S_u$$\delta S_d$期权多方$X-S_u$$X-S_d$

期权多方与$\delta$份基础资产的波动范围相同，如果我们在0时刻存了一笔钱，设为$y$，到1时刻我们就可以收到$(1+r)y$，如果 $$(1+r)y=\delta S_u-(S_u-X)=X+(1-\delta )S_u$$

则分别在上升、下降两种可能的未来状态下，期权多方的未来收益加上这笔存款的收益就等于$\delta$份基础资产的收益。根据无套利原理，0时刻的价值满足 $$\begin{gathered} p+y=\delta S_0 \\ \Rightarrow c=\delta S_0-\frac{X+(1-\delta )S_u}{1+r} \end{gathered}$$