行向量与列向量的乘法要求两个向量的元素个数相等。
行向量与列向量的乘法是用行向量的元素去乘列向量的对应元素然后相加求和。
向量与矩阵相乘后得到一个向量，不管哪个在前，需要满足前面的列与后面的行数相等。
两个矩阵相乘 A B = C AB=C AB=C,所得 C C C为矩阵，其元素 c i j c_{ij} cij为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列元素对应元素的乘积之和。
n阶方阵的幂： 设A是n阶方阵，当k为正整数时，A的幂运算规定为： A 1 = A , A 2 = A A , . . . , A k + 1 = A k A , A 0 = E A^1=A,A^2=AA,...,A^{k+1}=A^kA,A^0=E A1=A,A2=AA,...,Ak+1=AkA,A0=E A k A^k Ak是k个A的连乘，显然只有方阵才有幂。 满足：
或 A B = B A AB=BA AB=BA，则称A与B是可交换的。 当A，B可交换时有： ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ( A + B ) ( A − B ) = A 2 − B 2 ( A B ) 2 = A 2 B 2 (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\\ (A+B)(A-B)=A^2-B^2\\ (AB)^2=A^2B^2 (A+B)2=A2+2AB+B2(A+B)(A−B)=A2−B2(AB)2=A2B2
E = ( 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 ) E=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} E=⎝⎜⎛1⋮0⋯⋱⋯0⋮1⎠⎟⎞主对角线元素为1,其它为0。 对单位矩阵E，容易验证 A m × n E n = A m × n ， E m A m × n = A m × n A_{m×n}E_n=A_{m×n}，E_mA_{m×n}=A_{m×n} Am×nEn=Am×n，EmAm×n=Am×n 可见单位矩阵E有矩阵乘法中的运算作用类似于数的运算中“1”的作用。
称 Λ n = ( λ ⋱ λ ) = λ E \Lambda_n=\begin{pmatrix} \lambda \\ & \ddots \\ & & \lambda \end{pmatrix}=\lambda E Λn=⎝⎛λ⋱λ⎠⎞=λE为纯量阵。 由于纯量阵和矩阵A的乘法满足 Λ n A = λ E A = λ A \Lambda_nA=\lambda EA=\lambda A ΛnA=λEA=λA 和 A Λ n = A λ E = λ A E = λ A A\Lambda _n=A\lambda E=\lambda AE=\lambda A AΛn=AλE=λAE=λA 故纯量阵与矩阵A是可交换的。
