第三章，矩阵，03-矩阵与行列式

科技2022-07-13 203

第三章，矩阵，03-矩阵与行列式

矩阵与行列式的转置证明

AB)^T=B^TA^T

证明

ABC)^T=C^TB^TA^T

推广:

(A_1A_2...A_k)^T=A^T_k...A^T_1

方阵、对称矩阵矩阵的k阶子式定义方阵的行列式（方阵的最高阶子式）玩转线性代数(15)矩阵与行列式的笔记

矩阵与行列式的转置

将一个 $m \times n$ 矩阵A的行列互换得到的 $n \times m$ 矩阵，称为A的转置矩阵，记作 $A^T$ 行列式转置值不变，矩阵转置为一个新矩阵矩阵转置规则：

A^T)^T=A

A+B)^T=A^T+B^T

kA)^T=kA^T

，(k为实数)

AB)^T=B^TA^T

证明 $AB)^T=B^TA^T$

设 $A=(a_{ij})_{m×s},B=(b_{ij})_{s×n}$ , 记 $AB)^T=(c_{ij})_{n×m},B^TA^T=(d_{ij})_{n×m}$ ，则有 $c_{ij}$ 为 $AB)^T$ 的第i行第j列，也为AB的第j行第i列，即A的第j行与B的第i行的乘积，即 $c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{jk}b_{ki}$ ，同理， $d_{ij}$ 为 $B^T$ 的第i行与 $A^T$ 的第j列的乘积，也即B的第i列与A的第j行的乘积，有 $d_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{jk}b_{ki}=c_{ij}$ 故： $AB)^T=B^TA^T$

证明 $ABC)^T=C^TB^TA^T$

$ABC)^T=[(AB)C]^T=C^T(AB)^T=C^TB^TA^T$

推广: $(A_1A_2...A_k)^T=A^T_k...A^T_1$

方阵、对称矩阵

行列数相等：方阵转置矩阵与原矩阵相等：对称阵

矩阵的k阶子式

定义

在 $m \times n$ 阶矩阵A中任意选定矩阵的k行和k列，将位于这些行列的交点上的 $k^2$ 个元素按原来的次序组成的一个新的行列式，称为矩阵的一个k阶子式。

方阵的行列式（方阵的最高阶子式）

n阶方阵A的元素构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作 $∣ A ∣$ 或 $d e t A$ ，它的最高阶子式就是n阶

性质：

kA|=k^n|A|

A=|A^T|

拉普拉斯公式

\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix}=|A||B|

∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣

证明：仅就n=2的情况写出证明，

n\geq3

的情况类似可证。设

A=(a_{ij}),B=(b_{ij})

，记四阶行列式

D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & 0 & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\ -1 & 0 & b_{11} & b_{12}\\ 0 & -1 & b_{21} & b_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & 0 \\ -E & B \end{vmatrix}

由拉普拉斯公式，

D = ∣ A ∣ ∣ B ∣

D中第1列乘以

b_{11}

,第2列乘以

b_{21}

都加到第3列上；再将第1列乘以

b_{12}

，第2列乘以

b_{22}

都加到第4列上，即

D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21} & a_{22} & a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \\ -1 & 0 & b_{11} & b_{12}\\ 0 & -1 & b_{21} & b_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & AB \\ -E & B \end{vmatrix}

对上式作二次行变换，第1、3行，2、4行互换，得

D=(-1)^2\begin{vmatrix} -E & 0 \\ A & AB \end{vmatrix}=(-1)^2|-E||AB|=|AB|

于是：

∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣

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