题目链接：点击查看
题目大意：给出一个 n 个点和 m 条边组成的无向带权图，现在需要求一个将点 1 和点 n 分开的割集 C ，使得 最小
题目分析：分数式为总权值比上边的数量，换句话说就是一条边只有选或不选两种状态，所以可以用 01 规划转换题意：
，这样就转换成了 01 分数规划的题目，构造新函数 g 为：，令边权 ，则原式变为，即转换为了求原图的最小割，这样外层套一个二分，二分内部的 check 用最小割来实现即可
关于最后的路径输出，只需要 dfs 一下将整张图分为两个部分即可
还需要注意的地方就是，最大流的流量为浮点型，需要写一个 sgn 函数用来判断浮点型的符号，以及其与 eps 的大小关系
代码：
//#pragma GCC optimize(2) //#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") //#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<list> #include<unordered_map> using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=110; const double eps=1e-8; int sgn(double x) { if(fabs(x)<=eps) return 0; if(x<0) return -1; else return 1; } vector<tuple<int,int,int>>node; vector<int>ans; int st,ed; bool vis[N]; template<typename T> struct Dinic { const static int N=110; const static int M=1100; const T inf=1e10; struct Edge { int to,next; T w; }edge[M];//边数 int head[N],cnt; void addedge(int u,int v,T w) { edge[cnt].to=v; edge[cnt].w=w; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt++; edge[cnt].to=u; edge[cnt].w=w;//反向边边权设置为0 edge[cnt].next=head[v]; head[v]=cnt++; } int d[N],now[N];//深度 当前弧优化 bool bfs(int s,int t)//寻找增广路 { memset(d,0,sizeof(d)); queue<int>q; q.push(s); now[s]=head[s]; d[s]=1; while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) { int v=edge[i].to; T w=edge[i].w; if(d[v]) continue; if(sgn(w)==0) continue; d[v]=d[u]+1; now[v]=head[v]; q.push(v); if(v==t) return true; } } return false; } T dinic(int x,int t,T flow)//更新答案 { if(x==t) return flow; T rest=flow; int i; for(i=now[x];i!=-1&&rest;i=edge[i].next) { int v=edge[i].to; T w=edge[i].w; if(sgn(w)&&d[v]==d[x]+1) { T k=dinic(v,t,min(rest,w)); if(sgn(k)==0) d[v]=0; edge[i].w-=k; edge[i^1].w+=k; rest-=k; } } now[x]=i; return flow-rest; } void init() { memset(now,0,sizeof(now)); memset(head,-1,sizeof(head)); cnt=0; } T solve(int st,int ed) { T ans=0,flow; while(bfs(st,ed)) while(flow=dinic(st,ed,inf)) ans+=flow; return ans; } void dfs(int u) { vis[u]=true; for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if(vis[to]) continue; if(sgn(edge[i].w)!=0) dfs(to); } } }; Dinic<double>t; double cal(double mid) { t.init(); double sum=0; for(auto it:node) { int u,v,w; tie(u,v,w)=it; if(sgn(w-mid)<=0) sum+=w-mid; else t.addedge(u,v,w-mid); } sum+=t.solve(st,ed); return sum; } void cal_ans(double mid) { ans.clear(); t.init(); for(int i=0;i<node.size();i++) { int u,v,w; tie(u,v,w)=node[i]; if(sgn(w-mid)<=0) ans.push_back(i+1); else t.addedge(u,v,w-mid); } t.solve(st,ed); memset(vis,false,sizeof(vis)); t.dfs(1); for(int i=0;i<node.size();i++) { int u,v,w; tie(u,v,w)=node[i]; if((vis[u]^vis[v])&&sgn(w-mid)>0) ans.push_back(i+1); } sort(ans.begin(),ans.end()); } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false); int n,m; bool first=true; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { st=1,ed=n; if(first) first=false; else puts(""); node.clear(); while(m--) { int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); node.emplace_back(u,v,w); } double l=0,r=1e10,mark=0; while(fabs(r-l)>=eps) { double mid=(l+r)/2; if(cal(mid)<=0) { mark=mid; r=mid; } else l=mid; } cal_ans(mark); printf("%d\n",ans.size()); printf("%d",ans[0]); for(int i=1;i<ans.size();i++) printf(" %d",ans[i]); puts(""); } return 0; }
